Hi :)
Ich habe mich nochmal an Funktionenfolgen versucht. Bin mir aber bei einigen nicht sicher.
1) n≥2 und x∈ [0,1] , fn= sin(π*n*x) falls 0 ≤ x ≤ \( \frac{1}{n} \) und 0 falls \( \frac{1}{n} \)< x ≤1
- Konvergiert es punktweise? Also für die Randpunkte x=0, \( \frac{1}{n} \), 1 konvergiert ja die Funktionefolge gegen 0. Kann ich dann auch sagen, dass es für die Werte dazwischen der Fall ist und f(x)=0 meine Grenzfunktion ist?
-Konvergiert es gleichmäßig auf [0,1]? ????
2) fn:ℝ→ℝ fn(x)= \( \frac{1}{n+x^2} \)
-Punktweise Konvergenz: lim n→∞\( \frac{1}{n+x^2} \) =0 -Gleichmäßig: I \( \frac{1}{n+x^2} \)-0 I = I \( \frac{1}{n+x^2} \)I < \( \frac{1}{n} \) =ε Also konvergiert es gleichmäßig mit Grenzfunktion 0? Übersehe ich etwas oder ist es wirklich so einfach?
3) fn(x) = \( \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} \) , x∈ℝ
Punktweise Konvergenz: lim n→∞ \( \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} \) = für x≠0 f(x)=x und für x=0 f(x)=0
Gleichmäßige Konvergenz: Nicht gleichmäßig konvergent, da die Grenzfunktion nicht stetig ist?
Wäre wirklich sehr dankbar, wenn jemand mal drüber schauen könnte.
