Zeigen Sie anhand der DGL, dass die Lösung y(x) des Anfangswertproblems an der Stelle x₀=0 ein lokales Maximum besitzt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie anhand der DGL, dass die Lösung y(x) des Anfangswertproblems an der Stelle x₀=0 ein lokales Maximum besitzt.

Die DGL lautet:

y‘=—2(xy+xy²)

Problem Ansatz:

Kann ich diese Lösen indem ich die DGL nochmals ableite und wenn ja wie geht das

Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

Das kann man allein aus den Angaben in der Aufgabenstellung nicht folgern. Eine mögliche Lösung der DGL ist z.B. $y(x)=0$, die offenbar kein lokales Extremum besitzt.

Wenn ein Anfangswert $y(0)$ gegeben wäre, könnte man wie folgt argumentieren:

Die Ableitung der Funktion $y(x)$ verschwindet an der Stelle $x=0$:$$y'(0)=\left.-2(xy+xy^2)\right|_{x=0}=-2(0\cdot y+0\cdot y^2)=0$$Daher ist die Stelle $x=0$ ein Kandidat für ein lokales Extremum. Zur Bestimmung der Art des Extremums benötigen wir noch die zweite Ableitung:$$y''(x)=-2(1\cdot y+x\cdot y'+1\cdot y^2+x\cdot2yy')=-2(y+xy'+y^2+2xyy')$$$$y''(0)=-2(y(0)+y^2(0))$$Um nun Aussagen über das Vorzeichen von $y''(0)$ und damit über die Art des Extremums machen zu können, braucht man den Startwert $y(0)$.

Comments

Wie genau bildet man denn die zweite Ableitung der DGL ?

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Die erste Ableitung ist ja$$y'(x)=-2(xy+xy^2)$$Für die zweite Ableitung müssen wir hier nochmal mit der Produktregel und Kettenregel ableiten:$$y''(x)=-2(\underbrace{1\cdot y+x\cdot y'}_{=(xy)'}+\underbrace{1\cdot y^2+x\cdot2yy'}_{=(xy^2)'})=-2(y+xy'+y^2+2xyy')$$