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Wir de nieren f : R^2 → R durch f(x;y) =−(y−2x^2)(y−3x^2)


Für jedes v ∈ R^2 \ {(0;0)} besitzt die Funktion gv(t) := f(tv) von R nach R ein striktes lokales Maximum in 0.

Kann mir dabei bitte jemand helfen, ich komme leider nicht weiter :(

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1 Antwort

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für v = (a,b) gilt t*v = (t*a,t*b)  und
wegen      −(y−2x2)(y−3x2)  =  - ( y^2 - 2x^2 y - 3 x^2 y  + 6x^4 )  =  - ( y^2 - 5x^2 y   + 6x^4 )
f(t*v) = - ( t^2 b^2 - 5 t^2 a^2 t b + 6 t^4 a^4 )
          = -  t^2 b^2 + 5 t^3 a^2  b -  6 t^4 a^4

also f ' (tv)  (abl. nach t )
          = - 2 b^2 t  +15 a^2 b t^2  - 24 a^4  t^3

und f ' ' (tv ) =  -2 b^2 + 30 a^2 b t - 72 a^4 t^2

also ist f ' ( 0) = 0
    und f ' ' ( 0 ) = - 2 b^2 das ist <0 für b ungleich 0
also ist für b ungleich 0 jedenfalls bei t=0 ein Max.

und für b=0 bleibt eh nur  f(t*v)= -  6 t^4 a^4
was offensichtlich bei t=0 ein Max. hat.
von 228 k 🚀

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