Summengleichung Summe k/xk =1

Question

Aufgabe: ∑ k/x^k =1 auflösen k strebt gegen Unendlich

Problem/Ansatz:

 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{{x^k}}}$ =1

Mein Ansatz:

Ich schreibe mir die Folge für x=10 auf

K=1

0,1

K=2

0,12

Das sehe ich jetzt schon, das wird unübersichtlich, also

K=2

0,11 +

0,01

K=3

0,111+

0.011+

0,001

K=4

0,1111+

0,0111+

0.0011+

O, 0001

Jetzt überspringe ich einige k

K=10

0.1111111111+

0,0111111111+

0,0011111111+usw

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{{10^k}}}$ =$\frac{10}{9*9}$

Die Einsen hätte ich ja auch für jedes andere x geschrieben, also folgt für x=5

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{{5^k}}}$ =$\frac{5}{4*4}$

für x also

 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{{x^k}}}$ =$\frac{x}{(x-1)*(x-1)}$ =1

$x^{2}$ -3x+1=0

x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Wie ist es möglich, dass es bei einer Summe zwei Lösungen Gibt ?

Habe ich etwas falsch gemacht?

Comments

Wo hast du denn diese seltsame Aufgabe her? Der Limes ist irgendwie nicht zu interpretieren. Lassen wir ihn weg, dann haben wir etwa für

$$x=10:\quad \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{{10^k}}} = \dfrac{10}{\left(10-1\right)^2}$$ und für $$x=5:\quad \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{{5^k}}} = \dfrac{5}{\left(5-1\right)^2}$$ Damit ist aber gar nicht gesagt, für welche x die Reihe überhaupt konvergiert.

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Danke für den Hinweis.

Ich habe versucht zu zeigen, dass die Summe für x=10 und x=5 aber auch für x= 2 ( = 2) konvergiert.

Ist es ein Fehler, dass ich diese Ergebnisse verallgemeinert habe, für x=3 (3/4) konvergiert sie, mein x₁ liegt zwischen 2 und 3, sollte die Summe da etwa nicht konvertieren? Bei x₂ könnte das der Fall sein, doch warum ist es so?

Die seltsame Aufgabe habe ich mir ausgedacht. Das überflüssige Limeszeichen habe ich entfernt.

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Danke, x₂<1 d.h die Folge strebt gegen Unendlich, x₂>1 also konvergiert die Folge.

Hast du das gemeint?

Answer 1

Die Summanden lassen sich schreiben als k*x^-k , und das ist die Ableitung von $\frac{k}{-k+1} x^{-k+1}$= $-1\cdot x^{-k+1}$ +$\frac{1}{-k+1} x^{-k+1}$.

Wenn du es schaffst, die Summe von $-1\cdot x^{-k+1}$ +$\frac{1}{-k+1} x^{-k+1}$ zu bilden, kannst du diese ableiten.

Comments

Das habe ich raus, k*x^-k

doch, das hast du ja schon beschrieben.

Doch wie geht es weiter ?

Answer 2

Wolframalpha liefert nur die positive Lösung.

Für x_2 divergiert die Summe.

Die Summe divergiert für x-Werte zwischen-1 und +1.

Comments

Richtig, das hatte ich vergessen zu überprüfen.

Danke