Komplexe Zahlen (Nullstellen ausrechnen). f(z) = z^3-(2-5i)z^2-(7-i)z

Question

Bestimmen Sie die Nullstellen des Polynoms

z³-(2-5i)z²-(7-i)z

und geben Sie die Lösungsformel in der Form a+ib an. 

 

hab keinen plan wie das geht! :)

danke schon mal in voraus...

lg

Comments

Die erste Nullstelle sieht man leicht.

Dann hat man ein Polynom 2. Grades und das lässt sich mit der abc/-pq-/Mitternachts-/whatever-Formel lösen.

Answer 1

f(z) = z³-(2-5i)z²-(7-i)z = z*(z^2 -(2-5i)z-(7-i))

z1 = 0 = 0 + 0i

z2,3 = 1/2 ( 2-5i ± √((2-5i)^2 + 4(7-i)) )

= 1/2 (2 -5i ±√(4 - 20i - 25 + 28 - 4i))

= 1/2 (2 - 5i ± √(7 -24i))          |Ausführlich im Kommentar!

= 1/2(2-5i ±(4-3i))

Schau mal, ob ich bis hierhin richtig gerechnet habe. Danach kannst du bestimmt zur gewünschten Darstellung weiterrechnen.

Voraussichtlich sollte das

z2 = -1-i

z3 = 3 - 4i      geben.

Comments

VIelen Dank erstmal!
aber wie bist du auf z1= 0 = 0+0i gekommen?

und gehört bei der bin. Formel (2-5i)² als ergebnis nicht 4-20i+25i² und dann 4- 20i-25 weil ja i² = -1 ist??

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aber wie bist du auf z1= 0 = 0+0i gekommen? 

Wenn ein Produkt 0 ist, muss ein Faktor 0 sein. Entweder das z oder die Klammer.
und gehört bei der bin. Formel (2-5i)² als ergebnis nicht 4-20i+25i² und dann 4- 20i-25 weil ja i² = -1 ist??

Richtig! Danke. Du hast offenbar nachgerechnet ;).

 √(7 -24i) = x + iy

7 -24i = x^2 + 2ixy - y^2

==> 7 = x^2 - y^2

-24 = 2xy

-12/x = y

7 = x^2 - (-12 / x)^2

7x^2 = x^4 - 144

0 = x^4 - 7x^2 - 144

x^2 = u subst. → x = ±4

Dazu y = -3 resp. + 3

usw.