definierte Funktion f:(-1,1) — IR ist defferenzierbar?

Question

Aufgabe:

Welche Parameter a aus IR die durch

f(x):= { x^a In x , 0<x<1,

       0,             -1<x<_ 0

definierte Funktion f:(-1,1) —> IR ist defferenzierbar?

Comments

Hallo

da für x<=0 die Ableitung konstant 0 ist, musst du nur den GW für x->0+ untersuchen.

lul

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Ich hab die 1. Ableitung =0 und a=0. was meinst du mit GW?

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für a=0 hast du doch den Grenzwert (GW) des Differenzenquotienten gegen oo und nicht 0. wie kommst du auf 0?

lul

Answer 1

$$\text{Für } x\in (-1,0) \text{ ist die Funktion offensichtlich differenzierbar,}\\\text{da die Funktionswerte konstant sind.}$$

$$\text{Für } x = 0 \text{ folgt } \Delta_h f(0)=\frac{f(h)-f(0)}{h} = \frac{f(h)}{h} \begin{cases}\xrightarrow{h\nearrow 0} 0\\ =\frac{h^a\cdot \ln h}{h}=h^{a-1}\cdot \ln h \xrightarrow{h\searrow 0} 0, \ a\in (1,\infty)\end{cases}$$

$$\text{Für } x\in (0,1) \text{ ist die Funktion offensichtlich differenzierbar, da } x^a \text{ und } \ln x \text{ differenzierbar auf } x\in (0,1) \text{ sind.}$$

Nachträglicher Zusatz:

$$\text{Es gilt nach der Regel von L'Hospital für } a\in (1,\infty): \\ \lim_{h\searrow 0} h^{a-1}\cdot \ln h = -\lim_{h\searrow 0} \frac{-\ln h}{\frac{1}{h^{a-1}}} \overset{L.H.}{=} -\lim_{h\searrow 0} \frac{-\frac{1}{h}}{\frac{-(a-1)}{h^a}} = -\lim_{h\searrow 0} \frac{h^{a-1}}{(a-1)}=0 \text{.}$$

$$\text{Für } a=1 \text{ folgt } \ln h \xrightarrow{h\searrow 0} -\infty \text{.}$$

$$\text{Für } a\in (-\infty,1) \text{ kann mit } h^{a-1}\xrightarrow{h\searrow 0} \infty \text{ und mit } \ln h \xrightarrow{h\searrow 0} -\infty \text{ argumentiert werden.}$$

Comments

Wie kommst du auf GW 0 für h^a-1*ln(h) für h gegen 0? wenigstens muss man das beweisen.

lul

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@lul

Notiert und hinzugefügt. Danke für den Hinweis.