Ich soll für a∈ℝ+ das Integral \( \int \limits_{0}^{a} \exp (x) d x \) mit Hilfe der Obersumme/Untersumme berechnen.
\( O:=\sum \limits_{k=1}^{n}\left(x_{k}-x_{k-1}\right) · \sup f(x) \)
\( U:=\sum \limits_{k=1}^{n}\left(x_{k}-x_{k-1}\right) · \inf f(x) \)
- Das inf f(x) wäre auf R ja null aber auf R+ weiss ich jetzt nicht wie ich das herausfinden kann.
- Das sup f(x) ist \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=1}^{n}\left(x_{k}-x_{k-1}\right) · \sup f(x) \)
Sollte nun das selbe wie das Riemann-Integral sein?
Dafür muss ich doch nur die Obersumme oder die Untersumme berechnen.
Reicht es, dies zu zeigen?
\( \int \limits_{0}^{a} \exp (x) d x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a}{n} \sum \limits_{x=1}^{n} \exp \left(\frac{(x-1) a}{n}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{x=1}^{n} e^{\frac{(x-1) a}{n}} \frac{a}{n}= \)Untersumme
