In welchem Flächenverhältnis stehen das äußere und das innere Achteck zueinander?

Question

Acht gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke werden in dieser Weise zu einen regelmäßigen Achteck zusammengesetzt:

In welchem Flächenverhältnis stehen das äußere und das innere Achteck zueinander?

Answer 1

" in dieser Weise" interpretiere ich jetzt mal so: Beide 8-ecke haben den gleichen Mittelpunkt M.

und beziehungsweise die Radien R und r.

Wenn man M mit benachbarten Ecken des großen 8-ecks (sagen wir mal A und B ) verbindet,

gehen diese Radien auch durch benachbarte Ecken des kleinen 8-ecks (sagen wir mal C und D ).

Dann ist MDA ein Dreieck mit den Innenwinkeln 45° (bei M) 45°+67,5° = 112,5° (bei D) und

22,5° (bei A) . Außerdem ist MA=R und MD=r . Also nach dem sin-Satz

R / r   =  sin(112,5°) / sin(22,5)  = ( √ ( 2+√2) / 2 )    /     ( √ ( 2-√2) / 2 )

==>  R / r =  √ ( 2+√2)     /   √ ( 2-√2)  .

Das gesuchte Flächenverhältnis ist R^2 / r^2 also   ( 2+√2)    /  ( 2-√2)

Comments

@mathef

Dein Ergebnis stimmt mit meinem überein.

:-)

Answer 2

A/B=\(\frac{a^{2}}{b^{2}} \)= \( (\sqrt{2}-1)^{2} \) ≈  0,1716

B ist das große Achteck, A das kleine.

Sie verhalten sich etwa wie 0,1716 zu 1

Das äußere zum inneren verhält sich etwa wie 5,828 zu 1

Answer 3

Seitenlänge des großen Achtecks sei 1.

Dann ist die Seitenlänge des kleinen Achtecks

\(\sqrt2-1\).

Die Flächeninhalte verhalten sich wie die Quadrate der Seitenlängen, also

$$(\sqrt2-1)^2:1^2=2+1-2\sqrt2=3-2\sqrt2\approx 3-2,82824=0,17157$$

Falls das umgekehrte Verhältnis gesucht ist:

$$\frac{1}{3-2\sqrt2}={3+2\sqrt2}\approx 5,82824$$

Answer 4

Acht gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke (danke für die Redundanz)

Verallgemeinere zu n und Winkel α und erhalte das Flächen-Verhältnis von kleinem zu großem n-Eck :

v = (sin(α)/cos(π/n))^2 + cos(2α) - sin(2α)*tan(π/n)