stammfunktion einer gebrochen-rationalen funktion

Question

\( \frac{1}{(4x-1)^2} \)

Ich wollte eine Stammfunktion bilden, was ich hier aber nicht verstehe ist: "Besitzt x einen Koeffizienten ungleich 1, dann muss man zusätzlich durch ihn (er ist die „innere“ Ableitung der Klammer) dividieren."

Ich leite ja nicht ab, sondern auf, oder nicht? Und ich weiß ehrlich gesagt nicht wie das sonst gemeint ist :/ jemand eine Idee?

Answer 1

Hallo,

∫ (4x-1)^-2 dx = 1/4 · (-1) ·(4x-1)^-1

Der Faktor 1/4 bei der Stammfunktion hebt die innere Ableitung 4 auf, die sich sonst beim Ableiten der STF nach der Potenzregel aus der Kettenregel als Faktor ergeben würde

Nachtrag:

[  1/4 · (-1) ·(4x-1)^-1 ] '  =  1/4 · (-1) · (-1) · (4x-1)^-2 · 4 =  (4x-1)^-2

Gruß Wolfgang

Comments

Gilt das immer dann, wenn ich so eine Form vor mir habe: (2x-1)² oder ähnlich? also so ein klammer/linearfaktoren ausdruck, wo man für die ableitung die kettenregel verwenden müsste?

bei \( \frac{5}{(4-x)^3} \) gilt das gleiche oder? Dann müsste ich * 1/-1 rechnen oder?

---

ja, so ist es

Answer 2

f(x)=\(\frac{1}{(4x-1)^2} \)

F(x)=\( \int\limits_{}^{} \)\(\frac{1}{(4x-1)^2} \)*dx

Lösung mit Substitution:

4x-1=u    x=\( \frac{u+1}{4} \)      dx=\( \frac{1}{4} \)*du

F(u)=\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{1}{u^2} \)*\( \frac{1}{4} \)*du=\( \frac{1}{4} \)*\( \int\limits_{}^{} \)\( u^{-2} \)*du=-\( \frac{1}{4} \)*\( u^{-1} \)=-\( \frac{1}{4u} \)

F(x)=-\( \frac{1}{4*(4x-1)} \)=\( \frac{1}{4*(1-4x)} \)=\( \frac{1}{4-16x} \)