Steckbriefaufgabe für e-Funktion. Wie kann ich mit den gegebenen Informationen auf diese Lösung kommen?

Question

Aufgabe:

Zu Beginn des Jahres 2018 sind 3 Millionen Haushalte im Besitz eines Gasgrills.

Die Entwicklung seit 2013 in Millionen:

f‘(t) = 0,2 * (5,2 - f(t)),   für t >= 1,   t = Anzahl vergangene Jahre seit 2013

Ermittelt werden soll die Funktion f(t).

Problem/Ansatz:

Soweit habe ich f(5) = 3 und f‘(5) = 0,44

Als Lösung soll rauskommen f(x) = -5,98*e^-0,2x + 5,2

Wie kann ich mit den gegebenen Informationen auf diese Lösung kommen?

Answer 1

Aloha :)$$f'(t)=0,2\cdot\left(5,2-f(t)\right)=1,04-0,2f(t)$$Wir lösen zunächst die homogene Differentialgleichung:

$$\left.f'(t)=-0,2f(t)\quad\right|\quad:f(t)$$$$\left.\frac{f'(t)}{f(t)}=-0,2\quad\right|\quad\text{integrieren}$$$$\left.\ln\left|f(t)\right|=-0,2t+c_1\quad\right|\quad c_1=\text{const}\;;\;e^{\cdots}$$$$\left.f(t)=e^{-0,2t+c_1}=e^{-0,2t}\cdot e^{c_1}=c\,e^{-0,2t}\quad\right|\quad c:=e^{c_1}=\text{const}$$

Nun variieren wir die Konstante $c$, um die allgemeine Differentialgleichung zu lösen. Sei also $c=c(t)$ von der Zeit $t$ abhängig, dann haben wir:$$\left.f'(t)=1,04-0,2f(t)\quad\right|\quad f(t)=c(t)\,e^{-0,2t}\text{ einsetzen}$$$$\left.c'(t)\,e^{-0,2t}-0,2\,c(t)e^{-0,2t}=1,04-0,2c(t)\,e^{-0,2t}\quad\right|\quad+0,2c(t)e^{-0,2t}$$$$\left.c'(t)\,e^{-0,2t}=1,04\quad\right|\quad\cdot e^{-0,2t}$$$$\left.c'(t)=1,04\,e^{0,2t}\quad\right|\quad\text{integrieren}$$$$\left.c(t)=\frac{1,04}{0,2}\,e^{0,2t}+c_2\quad\right|\quad c_2=\text{const}$$$$c(t)=5,2e^{0,2t}+c_2$$

Diese variierte Konstante setzen wir in die homogene Lösung von oben ein:$$f(t)=c\,e^{-0,2t}=\left(5,2e^{0,2t}+c_2\right)\,e^{-0,2t}=5,2+c_2e^{-0,2t}$$Die Konstante $c_2$ folgt schließlich aus der Rahmenbedingung $f(5)=3$:$$3=f(5)=5,2+c_2\,e^{-0,2\cdot5}=5,2+c_2e^{-1}=5,2+\frac{c_2}{e}\quad\Rightarrow$$$$c_2=(3-5,2)\cdot e\approx-5,9802$$Damit lautet die gesuchte Funktion:$$f(t)=5,2-5,9802\cdot e^{-0,2t}$$

Answer 2

Hallo

du musst die Dgl lösen

1. homogene lösen : f'=-0,2f separation der Konstanten.

2. spezielle Lösung der Inhomogennen mit Ansatz f=a, d'=0

dann hast du die allgemeine Lösung, um die Integrationskonstante zu bestimmen, setzt du den Wert von t=5 ein.

Gruß lul

Answer 3

Hallo,

Du kannst diese DGL einfacher mittels "Trennung der Variablen " lösen.

f‘(t) = 0,2 * (5,2 - f(t)) = 1.04 - 0.2 f(t)  |: 1.04 - 0.2 f(t)

f'(t) /1.04 - 0.2 f(t) = 1

usw.