Was passiert mit den Integralgrenzen?

Question

Huhu,

ich habe gerade ein Problem die Umformungen zu verstehen. Bei der ersten Umformung wurden ja die Integralgrenzen, vermutlich durch Substitution verschoben, aber was genau? Ich erkenne nicht den Zusammenhang mit φ bzw. was in er letzten Zeile gemacht worden ist.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Liebe Grüße:)

Aufgabe:

\( \begin{aligned}=-a-\frac{\sigma}{\alpha} \int \limits_{0}^{\alpha} \Phi^{-1}(\beta) \mathrm{d} \beta \\=-a-\frac{\sigma}{\alpha} \int \limits_{-\infty}^{\Phi^{-1}(\alpha)} x \varphi(x) \mathrm{d} x & \\=-a-\frac{\sigma}{\alpha} \int \limits_{-\infty}^{\Phi^{-1}(\alpha)} \frac{x}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right) \mathrm{d} x \end{aligned} \)

Answer 1

Ich denke Du machst die Substitution

$$ \beta = \Phi(x) $$ dann folgt $$ d\beta = \Phi'(x) dx = \varphi(x) dx $$ weiter folgt für die Integralgrenzen das gilt

\( \beta = \Phi(x) = 0 \) und deshalb \( x = \Phi^{-1}(0) = -\infty \) und aus \( \beta = \Phi(x) = \alpha \) und deshalb \( x = \Phi^{-1}(\alpha) \)

Insgesamt also die gewünschte Form.