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Problem Integralgrenzen bei Substitution von geraden Funktionen


\( \int \limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{4}-1} d x \quad \begin{array}{l}\text { Substitution: } \\ x^{2}=\sin (z) \\ d x=\cos (z) d z\end{array} \Rightarrow z=\sin ^{-1}\left(x^{2}\right) \)
\( =\int \limits_{\sin ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)}^{\sin ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)} \frac{1}{\cos (z)} \cdot \cos (z) d z=0 \)


Ein Beispiel für das Problem ist im Anhang.

ich habe das Problem dass wenn ich die Substitution auf die Integralgrenzen anwende, die Integralgrenzen übereinstimmen und das integral somit =0 ist. Ich verstehe nicht warum die Substitution durch gerade Funktionen anscheinend nicht funktioniert (obwohl sie ja eig bewiesenermaßen richtig ist) oder wo ich den Fahler gemacht habe. Mir ist das auch bei anderen Integralen aufgefallen.

Mir ist bewusst, dass man da auch umgehen kann indem man das Integral nur von 0 bis 1/2 geht und es doppelt nimmt. Will nur verstehen weshalb die Substitution so nicht klappt.

von

Solltest du nicht \(x=\sin(z)\) substituieren, anstatt \(x^2\)?

Kann man sagen, es liegt hier daran, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist?

Wenn \(x^2=\sin(z)\) ist, dann ist \(2xdx=\cos(z)dz\)

1 Antwort

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Ich würde es mit einer Partialbruchzerlegung lösen:

x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x-1)(x+1)(x2+1)

von 3,2 k

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