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Huhu,

ich habe gerade ein Problem die Umformungen zu verstehen. Bei der ersten Umformung wurden ja die Integralgrenzen, vermutlich durch Substitution verschoben, aber was genau? Ich erkenne nicht den Zusammenhang mit φ bzw. was in er letzten Zeile gemacht worden ist.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Liebe Grüße:)

Aufgabe:

=aσα0αΦ1(β)dβ=aσαΦ1(α)xφ(x)dx=aσαΦ1(α)x2πexp(x22)dx \begin{aligned}=-a-\frac{\sigma}{\alpha} \int \limits_{0}^{\alpha} \Phi^{-1}(\beta) \mathrm{d} \beta \\=-a-\frac{\sigma}{\alpha} \int \limits_{-\infty}^{\Phi^{-1}(\alpha)} x \varphi(x) \mathrm{d} x & \\=-a-\frac{\sigma}{\alpha} \int \limits_{-\infty}^{\Phi^{-1}(\alpha)} \frac{x}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right) \mathrm{d} x \end{aligned}

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Ich denke Du machst die Substitution

β=Φ(x) \beta = \Phi(x) dann folgt dβ=Φ(x)dx=φ(x)dx d\beta = \Phi'(x) dx = \varphi(x) dx weiter folgt für die Integralgrenzen das gilt

β=Φ(x)=0 \beta = \Phi(x) = 0 und deshalb x=Φ1(0)= x = \Phi^{-1}(0) = -\infty und aus β=Φ(x)=α \beta = \Phi(x) = \alpha und deshalb x=Φ1(α) x = \Phi^{-1}(\alpha)

Insgesamt also die gewünschte Form.

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