Zeige, dass Vektoren v1, v2, v3 aus dem Vektorraum V linear unabhängig sind, wie zeige ich das?

Question

Zeige, dass Vektoren v1, v2, v3 aus dem Vektorraum V linear unabhängig sind, wenn v1, v1+v2, v1+v2+v3 linear unabhänig sind

Problem/Ansatz:

Also ich muss zeigen, dass x*v1+y*v2+z*v3 = 0 nur gilt, wenn x,y,z=0, aber wie zeige ich das?

Answer 1

r*v1+s*(v1+v2)+t*(v1+v2+v3)=0 hat nur die Lösung r=s=t=0.

Ausmultiplizieren:

rv1+sv1+sv2+tv1+tv2+tv3=0

Umsortieren, v1...v3 ausklammern:

(r+s+t)*v1+(s+t)*v2+t*v3=0

Damit sind die Koeffizienten alle gleich 0.

Wäre einer der Koeffizienten ungleich Null, stünde das im Widerspruch zur Voraussetzung.

:-)

Answer 2

Hallo

du weisst: a*v1+b(v1+v2)+c*(v1+v2+v3)=0 nur mit a=b=c=0

jetzt umformen  (also  anfangen mit (a+b+c)*v1+...und feststellen was dein x,y,z dann ist.

Gruß lul