Integraldarstellung des Erwartungswerts

Question

Hi, ich frage mich, wie man auf diese Integraldarstellung des Erwartungswertes kommt. Ich meine dabei nur das Markierte (aber habe für den Zusammehang mal den ganzen Beweis eingefügt). Ich verstehe vor allem nicht, wie man auf die Integralgrenzen kommt und ob die Gleichverteilung hier eine Rolle spielt.

Text erkannt:

$$\begin{array}{l} \text { Beweis. Mit }(7.13) \text { gilt für } u \in[0,1] \text { und } k \in \mathbb{N}_{0} \\ \left.\qquad P\left(T_{x}-\left\lfloor T_{x}\right\rfloor \leq u \| T_{x}\right\rfloor=k\right)=\frac{P\left(k \leq T_{x} \leq k+u\right)}{P\left(k \leq T_{x}<k+1\right)}=\frac{P\left(T_{x+k} \leq u\right)}{P\left(T_{x+k} \leq 1\right)}=\frac{u q_{x+k}}{q_{x+k}}=\frac{u q_{x+k}}{q_{x+k}}=u \end{array}$$
Dies hängt nicht von $k$ ab und somit ist $T_{x}-\left\lfloor T_{x}\right\rfloor$ unabhängig von $\left\lfloor T_{x}\right\rfloor$ und gleichverteilt auf $[0,1] .$ Wegen $v=\frac{1}{1+i}$ und $r=\log (1+i)$ folgt dann mit $(8.2),$ der Unabhängigkeit und (8.1)
$$\begin{aligned} \bar{A}_{x} &=\mathbb{E}\left[v^{T_{x}}\right]=\mathbb{E}\left[v^{T_{x}-\left\lfloor T_{x}\right\rfloor-1} v^{\left[T_{x}\right\rfloor+1}\right]=\mathbb{E}\left[v^{T_{x}-\left\lfloor T_{x}\right]-1}\right] \mathbb{E}\left[v^{\left\lfloor T_{x}\right\rfloor+1}\right]=\int \limits_{0}^{1} v^{t-1} \mathrm{d} t A_{x} \\ &=\int \limits_{0}^{1} \frac{e^{t \log (v)}}{v} \mathrm{d} t A_{x}=\left[\frac{e^{t \log (v)}}{v \log (v)}\right]_{t=0}^{1} A_{x}=\frac{v-1}{v \log (v)} A_{x}=\frac{1}{-r}\left(1-\frac{1}{v}\right) A_{x}=\frac{i}{r} A_{x} \end{aligned}$$

Es wäre super nett, wenn mir jemand helfen könnte.

VG

Answer 1

Hallo,

die Integralgrenzen kommen zustande, da $u \in [0,1]$.

Der Integrand ist einfaches nachrechen. Leider hast du nicht angegeben, was $A_x$ sein soll. Deshalb ist diese Frage eher schwieriger zu beantworten.

Comments

danke für die Antwort:) sorry, für die dumme Frage, aber wieso hängt das mit u zusammen? Das u kommt doch gar nicht im Integral oder im Erwartungswert vor?