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Aufgabe:

Sei \(  A = XDX^{*} \in \mathbb{C}^{n \times n} \)

Wie transponiert man die den folgenden Ausdruck: \( (XDX^*x)^T*x \). Ich bin mir nicht ganz sicher, wie sich die Reihenfolge ändert. Könnt ihr mir das erklären?

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Beste Antwort

Aloha :)

Es gilt \((A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T\). Die Matrizen werden also einfach von rechts nach links in transponierter Form aufgeschrieben:$$(X\cdot D\cdot X^\ast\cdot x)^T\cdot x=x^T\cdot(X^\ast)^T\cdot D^T\cdot X^T\cdot x$$Im Komplexen musst du aber aufpassen, weil es dort auch die adjungierte Matrix gibt. Dabei wird die Matrix nicht nur transponiert, sondern ihre Elemente werden zusätzlich noch komplex konjugiert:$$A^H=(A^\ast)^T=(A^T)^\ast$$

Da in der Aufgabe die Matrix \(X^\ast\) vorkommt, könnte es sein, dass die adjungierte Matrix und nicht die transponierte Matrix gesucht ist. Dazu solltest du vielleicht die Aufgabenstellung nochmal checken.

Avatar von 148 k 🚀

Hallo, danke für die ausführliche Antwort und ja, es handelt sich um eine unitäre adjungierte Matrix.

Dann musst du noch alle Matrizen komplex konjugieren.

Wäre dann \( X^{**} \) = X?

Ja genau, 2-mal komplex konjugiert führt zur Ausgangsmatrix.

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Du meinst

\(\left(X \; D \; X^{*} \; x \right)^{T} = \left(x^{T} \; X^{* \; T} D^{T} \; X^{T} \right)\)

Avatar von 21 k

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