Wie zeigt man Transponierte = Inverse Matrix?

Question

Ich habe eine Matrix T bei der ich wissen moechte, ob T^T = T ^-1 gilt.

Das einzige was ich weiss ist, dass T^T G T = G ist, wobei G diagonal mit  |det (G)| = 1

Reicht es zu zeigen, dass |det (T) ||=1 ist? Oder muss man Zeigen, dass für die Operatornorm ||T|=1 gilt?

Oder wie geht man ueberhaupt voran?

Comments

Nur als Idee (ohne jegliche Gewähr)

T* T^T = E würde ja genügen. Aber das weisst du auch.

T^T G T = G

Da det(G) ≠ 0 ist T invertierbar. 

T^T G T = G              | ich multipliziere mal von rechts mit T^{-1}

T^T * G = G* T^{-1}

jetzt müsste die Multiplikation mit einer Diagonalmatrix noch kommutativ sein, dann hätte ich

G * T^T = G* T^{-1}. G ist invertierbar. von links mit G^{-1} multiplizieren

T^T = T^{-1}

Wenn das Grüne stimmt, geht's auch direkt:

T^T G T = G             

G T^T T = G        |von links mit G^{-1} mult.

T^T T = E. 

analog T T^T = E.

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Hi Lu, so habe ich es mir auch gedacht, aber leider ist die Multiplikation mit einer Diagonalmatrix i.A. nicht kommutativ. Denn  (AB)_ij =A_{i j} b_j ≠  (BA)_ij=A_{i j} b_i    da b_i ≠ b_j   (B ist hier die Diagonalmatrix)

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Kommt denn die transponierte raus? Oder nicht mal das?

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nicht mal das Z.B.

A= 0  3    B = 1  0         Dann AB=  0    9       und BA=     0    3
4  0           0    3                        4    0                      12   0

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Dass det von T eins ist, hättest du ja direkt aus der ersten Gleichung. Denn det T = det T^T.

Ok.

Dann muss man vor den grünen Einträgen irgendwie weiterkommen. Allerdings geht meine Rechnung im Kreis rum:

T^T G = G T^{-1}       | von rechts 'mal' G^{-1}

T^T = G T^{-1} G^{-1}
T^T  = G (GT)^{-1}

G^{-1} T^T = (GT)^{-1}

und da stecke ich nun fest.

Irgendwie sollte man ja die Diagonalform von G und die Determinante benutzen können.

Bsp.

G = (1/2 0                 G^{-1} = (2     0
  .   0   2)                             0     1/2)

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Hmm, ich habe festgestellt, dass G=G^-1 ist, aber G ist nicht die Einheitsmatrix.

Bsp: Paulimatrix σ_z = 1   0

                             0  -1

Answer 1

Anmerkung:

Wenn T^T =  T ^-1  gilt, dann handelt es sich um eine orthogonale Matrix, d.h. die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren sind zueinander orthogonal und normiert, es ist stets det T = 1 oder det T = -1 und T T^T = T  T ^-1 = E.

Ansonsten fällt mir Diagonalisierbarkeit ein. Jede symmetrische, reguläre Matrix ist diagonalisierbar und es gibt eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren von der Matrix T und es gibt eine orthogonale Matrix (nennen wir sie O), so dass D = O^T T  O. Vermutlich ist deine Matrix T bereits die orthogonale Matrix. (hier: O) und deine Matrix G wird die Diagonalmatrix sein.

Hoffe, das hilft dir.

Comments

Das sind zwar richtige Aussagen und Fakten, helfen mir aber nicht weiter.