Grenzwert von lim x->1 ((lnx-x+1)/(x-1)^2)

Question

Aufgabe:

Grenzwert von: $$ \lim\limits_{x\to\ 1} \frac{ln(x)-x+1}{(x-1)^2}  $$

Problem/Ansatz:

Laut WolframAlpaha soll die Lösung = $$ - \frac{1}{2} $$ sein.

Ich weiß aber nicht wie ich dahin kommen.

Die Step-by-Step von WA verwendet den L'Hospital, den man hier in der Aufgabe nicht verwenden darf laut Aufgabenstellung.

Answer 1

Vielleicht mit Reihenentwicklung.$$\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)-x+1}{(x-1)^2}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots}{x^2}=-\frac12.$$