lim x->1 (lnx)(ln ln x)

Question

Berechnen Sie die Grenzwert indem Sie die Stetigkeit der Funktion

x ln x    x ungleich 0
h(x) =
                 x=0       x gleich 0

verwenden.

Comments

Wir sollten zunächst einmal klären was du überhaupt meinst.

h ( x ) = x * ln ( x ) für x ≠ 0
h ( x ) = 0  für x = 0

Willst du die Stetigkeit für x = 0(+) nachweisen
oder für  x = 1 ?

Answer 1

Die einzig sinnvolle Variante wäre

lim x->0(+)  [ x * ln ( x ) ]  wäre 0 mal ( −∞ )
Ein Fall für l ´Hospital
anders geschrieben
ln ( x ) / ( 1 / x )  wäre −∞ / ∞
[ ln ( x ) ] ´ /  ( 1 / x ) ´
1/x / ( -1 / x^2 )
-x^2 / x = - x
lim x -> 0(+) [ -x ] = 0
Grenzwert und definierter Wert   f ( 0 )  = 0  stimmen
überein. Die Funktion ist stetig.

Comments

ln (ln x) ist aber nicht definiert für x≤1.

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Kleine Anmerkung die durch den Fragesteller etwas untergegangen ist:

Der Zusammenhang der Aufgabenstellung mit der Überschrift ist:

$$ \lim \limits_{x \to 1} \ln(x) \cdot \ln( \ln(x)) = \lim \limits_{z \to 0} z\cdot lnz$$

Gruß