Partielle Differentailgleichung mit Methode der Charakteristiken lösen

Question

Ich habe folgende Aufgabe partielle DGL gegeben: \( 3u_{x}-4u_{y}=cos(x+y) \) und soll diese PDE mittels Methode der Charakteristiken lösen.

Zuerst stelle ich die RumpfDGL auf und gebe meine char. Gleichungssystem an und dabei dx = 3 und dy = -4 erhalten. Dann integriert und \(c=-4x-3y\) bekommen. Nun komme ich zu meiner Frage: Ich habe jetzt -4 und -3 einfach in c aufgenommen, da es sich hierbei nur um Konstanten handelt. Ist das korrekt oder darf man das nicht machen. Denn nun habe ich so substituiert: \(\eta = x, \varepsilon = (x+y)\). Dann habe ich in die Bekante Formel eingesetzt:

$$0 = (a\eta_{x}+b\eta_{y})U_{\eta}+cU+d = 3U_{\eta}=cos(\varepsilon)$$

$$U_{\eta} = cos(\varepsilon)/3$$

$$U = \eta*cos(\varepsilon)/3+c(\varepsilon)$$

Und nun rücksubstituiert:

$$u(x,y) = xcos(x+y)/3+C(x+y)$$

Ist das so korrekt oder habe ich da irgendwo einen Fehler drinnen. Freue mich über jegliche Hilfe. LG Rapi

Answer 1

Hallo,

\( 3u_{x}-4u_{y}=cos(x+y) \)

Meine Berechnung:

1) Ansatz: w_t= u_x x_t+u_y y_t

x'(t)= 3

y'(t)= -4

2) DGL lösen:

x'(t)= 3 → x =3t

y'(t)= -4 → y= -4t +C

-->Charakteristik: C= y+4t = y +(4/3) x

3) PDGL lösen:

w_t=  cos(x+y) = cos(-t+C) --->nach t integrieren

w_t= - sin(-t+C) +K(c)

4) Rücksubstitution:

u(x,y)= -sin(-x/3 +y +(4/3) x) +K(c)

u(x.y)= -sin(x +y)  +K(c)