Dann koennte man doch umformen zu P(AIB1)=P(A)/P(B1) oder?

Question

Aufgabe:

Denkfehler bei dem Satz der totalten Wahrscheinlichkeit und der Formel von Bayes

Problem/Ansatz:

wenn ich von dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ausgehe ist doch P(A)=P(AIB1)*P(B1).

Dann koennte man doch umformen zu P(AIB1)=P(A)/P(B1) oder?

Aber wenn man das darf dann wuerde es doch nicht mit dem Satz von Bayes stimmen...

Scheint als haette ich irgendwo ein Denkfehler den ich leider nicht finden kann.

Waere nett wenn mir das jemand aufloesen wuerde.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Hallo,

Du hast den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit falsch / unvollständig zitiert.

Gruß

Answer 1

Aloha :)

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit lautet formal:$$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline B)$$$(A\cap B)$ sind die Ereignisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen. $(A\cap\overline B)$ sind die Ereignisse, die in $A$ liegen ohne diejenigen, die auch in $B$ liegen. Wenn man beide vereinigt, bekommt man alle Ereignisse aus $A$.

Satz von Bayes

Die Wahrscheinlichkeit $P(A\cap B)$ kannst du wie folgt schreiben:$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$$Diese Beziehung ist ganz wichtig! $P(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ eintritt. $P(B|A)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $B$ eintritt, unter der Voraussetzung, dass $A$ bereits eingetreten ist. Entsprechend kannst du das auch umformulieren, für den Fall, dass zuerst $B$ eintritt:$$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$$Der Satz von Bayes folgt daraus rein rechnerisch:$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}$$

Der Bug in deinen Überlegungen

Deine Überlegungen sind unvollständig. Gemäß der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:$$P(A)=\underbrace{\overbrace{P(A|B)\cdot P(B)}^{=P(A\cap B)}}_{\text{hast du}}+\underbrace{\overbrace{P(A|\overline B)\cdot P(\overline B)}^{=P(A\cap\overline B)}}_{\text{fehlt bei dir}}$$Daher kommt der Konflikt mit der Gültigkeit des Satzes von Bayes.