Aufgabe
2xy+y'=x
Problem/Ansatz
Hallo, ich habe zwei Fragen bei der Aufgabe, die eigentlich sehr einfach ist. Bei Frage 1 würde ich gerne wissen was genau gekürzt werden konnte dass am nach der Integration nur 0,5+c×e^-x^2 alleine steht.
Bei Frage zwei stell ich mir die Frage wieso bei dem y= Vergleich zweimal die 1÷2 steht.
Würde mich über eine Antwort freuen.
VG
Sara 
Text erkannt:
\( 2 x y+y^{\prime}=x_{1} \quad y(0)=3 \)
Moglichlesit 1 : lineare DGL 1. Ordmug \( p(x)=2 x, q(x)=x \quad \rightarrow P(x)=x^{2} \)
\( \rightarrow y(x)=e^{-P(x)} \cdot \int q(x) \cdot e^{P(x)} d x=e^{-x^{2}} \cdot \int x \cdot e^{x^{2}} d x \)
\( =\frac{1}{2}+c \cdot e^{-x^{2}} \quad \) frage
\( \mathbf{1} \)
\( y(0)=3=\frac{1}{2}+c \cdot e^{0} \Leftrightarrow c=\frac{5}{2} \rightarrow y(x)=\frac{1}{2}+\frac{5}{2} \cdot e^{-x^{2}} \)
\( y(0)=3 \) (mits Fall für \( \left.y>\frac{1}{2}\right) \)
frage 2 \( \begin{aligned}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot e^{c} \cdot\left(\Rightarrow \frac{5}{2}\right) &=\frac{1}{2} \cdot e^{c} \Leftrightarrow e^{c}=5 \Leftrightarrow c=\ln 5 \\ \Rightarrow y(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} e^{-x^{2}+\ln 5} &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} e^{-x^{2}} \cdot e^{\ln 5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot e^{-x^{2}} 5 \\ &=\frac{1}{2}+\frac{5}{2} e^{-x^{2}} \end{aligned} \)
Text erkannt:
\( 2 x y+y^{\prime}=x_{1} \quad y(0)=3 \)
Moglichlesit 1 : lineare DGL 1. Ordmug \( p(x)=2 x, q(x)=x \quad \rightarrow P(x)=x^{2} \)
\( \rightarrow y(x)=e^{-P(x)} \cdot \int q(x) \cdot e^{P(x)} d x=e^{-x^{2}} \cdot \int x \cdot e^{x^{2}} d x \)
\( =\frac{1}{2}+c \cdot e^{-x^{2}} \quad \) frage
\( \mathbf{1} \)
\( y(0)=3=\frac{1}{2}+c \cdot e^{0} \Leftrightarrow c=\frac{5}{2} \rightarrow y(x)=\frac{1}{2}+\frac{5}{2} \cdot e^{-x^{2}} \)
\( y(0)=3 \) (mits Fall für \( \left.y>\frac{1}{2}\right) \)
frage 2 \( \begin{aligned}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot e^{c} \cdot\left(\Rightarrow \frac{5}{2}\right) &=\frac{1}{2} \cdot e^{c} \Leftrightarrow e^{c}=5 \Leftrightarrow c=\ln 5 \\ \Rightarrow y(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} e^{-x^{2}+\ln 5} &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} e^{-x^{2}} \cdot e^{\ln 5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot e^{-x^{2}} 5 \\ &=\frac{1}{2}+\frac{5}{2} e^{-x^{2}} \end{aligned} \)
