Aloha :)
Hier hilft Partialbruchzerlegung weiter:
$$\phantom{=}\frac{2x^3-7x}{x^3-4x}=\frac{x(2x^2-7)}{x(x^2-4)}=\frac{2x^2-7}{x^2-4}=\frac{2x^2-8+1}{x^2-4}=\frac{2x^2-8}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4}$$$$=\frac{2(x^2-4)}{x^2-4}+\frac{1}{(x-2)(x+2)}=2+\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}$$Um die Werte für \(A\) und \(B\) herauszufinden, bringen wir die beiden Brüche auf den Hauptnenner:
$$\phantom{=}\frac{1}{(x-2)(x+2)}\stackrel{!}{=}\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x-2)}{(x-2)(x+2)}$$$$=\frac{Ax+2A+Bx-2B}{(x-2)(x+2)}=\frac{(A+B)x+2(A-B)}{(x-2)(x+2)}$$Der Zähler muss gleich \(1\) sein, also muss \(A+B=0\) und \(A-B=\frac{1}{2}\) sein. Die Lösung dieses kleinen Gleichungssystems liefert:$$A=\frac{1}{4}\quad;\quad B=-\frac{1}{4}$$Damit können wir den Integranden von oben so schreiben:$$\frac{2x^3-7x}{x^3-4x}=2+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+2}$$Diese 3 Summanden sind sofort integrierbar, sodass:$$I:=\int\frac{2x^3-7x}{x^3-4x}dx=2x+\frac{\ln|x-2|}{4}-\frac{\ln|x+2|}{4}+\text{const.}$$Das kann man noch zusammenfassen:$$I=2x+\frac{1}{4}\left(\ln|x-2|-\ln|x+2|\right)+\text{const.}$$$$\phantom{I}=2x+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+\text{const.}$$
