Wahrscheinlichkeits Ungleichung (mittels Chebyshev(?))

Question

Ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen.

$$(\Omega,\Sigma,\mathbb{P}) \text{ Wahrscheinlichkeitsraum. X Zufallsvariable mit} X >= -100\\ \text{ Es gelte } \mathbb{E}(X) = -30 \text{ und } \mathbb{V}(X) = 50\\ \text{z.z } \mathbb{P}(X -20) \leq \frac{1}{2}$$

Ich vermute, dass ich die Chebyshev-Ungleichung anwenden muss, wobei t = 10 oder t= -10 sein wird, hatte damit aber bisher keinen Erfolg.

Comments

Meine Vermutung zu dem ganzen wäre folgendes:
$$\mathbb{P}(X \geq -20) \Leftrightarrow \mathbb{P}(X + 30 \geq -20 +30) \Rightarrow \mathbb(P)(|X+30| \geq -20+30) \Leftrightarrow \mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X) \geq 10) \\ \text{Nach Chebyshev gilt nun:} \\ \mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X) \geq 10) \leq \frac{\mathbb{V}(X)}{10^2} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$$

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Verschobene Klammern und Fehlendes '|' ist mir leider erst im nachhinein aufgefallen.

Answer 1

Hallo,

Du hast eigentlich schon alles gemacht, vielleicht etwas unklar aufgeschrieben.

Zunächst ist die Aufgabenstellung unklar: P(X-20)? Aus Deinem KKommentar geht hervor, dass es um \(P(X \geq -20)\) geht. Dann wäre in der Tat:

$$X \geq -20 \Rightarrow X+30 \geq 10>0 \Rightarrow |X+30| \geq 10$$

Und damit für die Wahrscheinlichkeiten:

$$P(X \geq -20) \leq P(|X+30| \geq 10) \leq \frac{50}{100}.$$

Es macht mich nur stutzig, dass dafür die Bedingung \(X \geq -100\) nicht benutzt wird. Daher die Frage: Ist die Aufgabe oben richtig übertragen?

Gruß

Comments

Aufgabe ist richtig übertragen, nur habe ich nicht erwähnt, dass es sich um einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum handelt. Auch, dass die Zufallsvariable auf Omega ist habe ich nicht erwähnt, aber das wahr wahrscheinlich bereits angenommen.

Ich vermute, dass X >= -100 als Hilfe dafür gedacht war um die Markov Ungleichung auszuschließen.

Aufgabe war tatsächlich wie von dir verstanden, war wohl nur nicht mehr ganz klar im Kopf mit den ganzen Fehlern im Aufschrieb des ganzen.