Benötige Hilfe um die Stetigkeit von 2 Abbildungen via Epsilon-delta Kriterium nachweisen:

Question

Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:

$$\text{ Sei } f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\\text{(a) } f(x):=\vert2-x^2\vert \\\text{(b) } f(x):=\sqrt{\vert x-1\vert} \\[10pt]\text{ Zu zeigen:} \\ (\forall a\in \mathbb{R}  \land \forall\epsilon\gt0)\exists \delta \gt 0 \in D:(\vert f(x)-f(a) \vert \lt \epsilon,\vert x-a \vert \lt \delta ,\forall x \in \mathbb{R}) $$

Problem/Ansatz:

Ich bin leider noch nicht so ganz geübt mit dem Umgang mit den Epsilon-delta Kriterium und habe Probleme die richtigen Abschätzungen zu treffen.

Die Aufgabe (a) habe ich folgendermaßen bearbeitet, könntet Ihr mir sagen ob ich richtig gemacht habe und falls nicht die Aufgabe korrigieren:

$$\text{(a) }\\ \vert f(x)-f(a) \vert \lt \epsilon \\ \Longleftrightarrow \vert \vert2-x^2\vert-\vert2-a^2\vert\vert \lt \epsilon \\\Longleftrightarrow \vert \vert2-x^2\vert-\vert2-a^2\vert\vert \leq \vert (2-x^2)-(2-a^2)\vert \lt \epsilon \\ \Longleftrightarrow \vert 2-x^2-2+a^2\vert=\vert -x^2+a^2\vert \lt \epsilon \\ \Longleftrightarrow \vert -x^2+a^2\vert = \vert -x+a\vert \vert x+a\vert \lt \vert x+a \vert * \delta \\ \Longleftrightarrow \vert x+a \vert * \delta = \vert x-a+a+a \vert * \delta= \vert x -a +2a \vert * \delta \\ \Longleftrightarrow \vert x -a +2a \vert * \delta \leq (\vert x  -a \vert +\vert 2a \vert) * \delta \lt (\delta+2\vert a\vert) * \delta \\\Longleftrightarrow \vert f(x)-f(a) \vert \lt (\delta+2\vert a\vert) * \delta \leq \epsilon \\[10pt] \text{ Da delta frei wählbar ist, sei:  } \delta \leq 1 \\\Longrightarrow (\delta+2\vert a\vert) \leq (1+2\vert a\vert) \\\Longleftrightarrow (1+2\vert a\vert) * \delta \leq \epsilon \\\Longleftrightarrow \delta \leq \frac{\epsilon}{(1+2\vert a\vert)} \\\Longrightarrow \delta := min\{1,\frac{\epsilon}{(1+2\vert a\vert)}\} \\[10pt] (1+2\vert a\vert) * \delta \\\Longleftrightarrow (1+2\vert a\vert)*\frac{\epsilon}{(1+2\vert a\vert)}= \epsilon \\\blacksquare \\\text{ Die funktion } f(x)= \vert 2-x^2 \vert \text{ ist für jedes } a\in \mathbb{R} \text{ im Definitionsbereich stetig.}$$

Bei Aufgabe (b) bin ich leider mitendrinn hängengeblieben...

Habe ich falsche abschätzung genommen oder sollte man die Aufgabe anders bearbeiten?

Könntet Ihr mir helfen und sage wie man weiter vorgehen soll?

$$\text{(b) }\\ \vert f(x)-f(a) \vert \lt \epsilon \\\Longleftrightarrow \vert \sqrt{\vert x-1 \vert}-\sqrt{\vert a-1 \vert}\vert \lt \epsilon \\\Longleftrightarrow \vert \sqrt{\vert x-1 \vert}-\sqrt{\vert a-1 \vert}\vert \leq \vert \sqrt{ x-1 }-\sqrt{ a-1 }\vert \lt \epsilon \\\Longleftrightarrow \vert \sqrt{ x-1 }-\sqrt{ a-1 }\vert= \frac{\vert \sqrt{ x-1 }-\sqrt{ a-1 }\vert*\vert \sqrt{ x-1 }+\sqrt{ a-1 }\vert}{\vert \sqrt{ x-1 }+\sqrt{ a-1 }\vert} \\= \frac{\vert x-a \vert}{ \sqrt{ x-1 }+\sqrt{ a-1 }} \leq \frac{\vert x \vert}{ \sqrt{ x-1 }+\sqrt{ a-1 }}-\frac{\vert a \vert}{ \sqrt{ x-1 }+\sqrt{ a-1 }} \leq \frac{\vert x \vert}{ \sqrt{ x-1 }}-\frac{\vert a \vert}{ \sqrt{ a-1 }}\leq \vert x-a \vert \lt \delta \\\Longleftrightarrow \vert x-a \vert \lt \delta \leq \epsilon?$$

P.S Gibt eigentlich neben dem Epsilon-delta Kriterium andere Methoden stetigkeit nachzuweisen, wo man keine Abschätzungen treffen muss? Ich persönlich finde das Epsilon-delta Kriterium nicht sehr optimal , weil mir Abschätzungen schwer fallen.

Comments

Edit:

Die Formel in der Aufgabenstellung sollte so aussehe:

$$\text{ Zu zeigen:} \\ (\forall a\in \mathbb{R}  \land \forall\epsilon\gt0)\exists \delta \gt 0 ,\forall x \in D:(\vert x-a \vert \lt \delta \Longrightarrow \vert f(x)-f(a) \vert \lt \epsilon,\forall x \in \mathbb{R}) $$

Ich habe mich leider verschrieben :O

Answer 1

Ich denke, dass du da mehrere Fälle unterscheiden kannst:

Etwa:  Sei a>1 und jedenfalls schon mal δ<(a-1)/2 . Dann gilt für alle x mit |x-a| < δ

schon mal:  |x-1| =  x-1  und  wegen a>1 auch |a-1| = a-1 .

Also hast du | f(x) - f(a) | =

$$|\sqrt{x-1}-\sqrt{a-1}|$$und dann 3. binomi. Formel

$$=\frac{|x-1-(a-1)|}{|\sqrt{x-1}+\sqrt{a-1}|}=\frac{|x-a|}{|\sqrt{x-1}+\sqrt{a-1}|}$$

Und der Nenner ist sicher größer oder gleich  √(a-1) .

Also hast du insgesamt :  | f(x) - f(a) | ≤

$$\frac{|x-a|}{|\sqrt{a-1}|}$$

und für |x-a|<δ hätte man dann

| f(x) - f(a) | ≤ δ / √(a-1)  und damit das < ε ist müsste

man wählen  δ =  ε * √(a-1)  .

Und für die Fälle a<1 und a=1 muss man die Überlegung

 entsprechend  anpassen.