Ableiten der Funktion f(x) = (1-e^{-x}) / (1+e^x)

Question

Ableiten der Funktion:

b) \( f(x)=\sqrt{3+\ln \left(e^{x}-3\right)} \)

Lösung: \( \frac{e^{x}}{2\left(e^{x}-3\right) \cdot \sqrt{3+\ln \left(e^{x}-3\right)}} \)

c) \( f(x)=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{x}} \)

Lösung: \( f'(x)= \frac{2-e^{x}+e^{-x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}} \)

d) \( f(x)=\ln \frac{e^{x}}{7+\sin ^{5} x} \)

Lösung: \( f(x) = 1-\frac{5 \sin ^{4} x \cos x}{7+\sin ^{5} x} \)

Die Aufgabe c hab ich schon gemacht, aber bei mir steht:

\( e^x+e^{2x}-(e^x-e^x · e^x) \)

Wie fasst man das zusammen?

Comments

Du musst bei c) erst mal nach Quotientenregel ableiten.

Einfach so zusammenfassen kannst du hier nicht.

Leider hat's deinen Exponenten in deinem Lösungsvorschlag irgendwie verunstaltet. Was hast du da genau? Mach einen Leerschlag nach ^ und dann eine Klammer um alles, was oben stehen soll.

Dein Ausdruck oben ist wohl der Zähler:

 e^x+e^{2x}-(e^x-e^x mal e^x)

=  e^x+e^{2x}-(e^x-e^2x )

=  e^x+e^{2x}- e^x+ e^2x = 2*e^{2x}      Stimmt nun aber nicht.

Answer 1

f(x) = ( 1-e^-x)/(1+e^x) ein mal ableiten.

Beachte wegen der Kettenregel gilt: (1-e^{-x}) ' = -1*(-e^{-x}) = e^{-x}.

Nun:

f '(x) = ( e^{-x})(1+e^x) - (1- e^{-x})(e^x)) / (1+e^x)^2

=((e^{-x} + 1)  - (e^x -1))/(1+e^x ) ^2

= (-e^x + e^{-x} + 2) / (1+e^x) ^2

Comments

Danke. Ich habe nicht gewusst, dass e^x · e^{-x} = 1 ergibt.