Hallo Roland,
normalerweise sollte man die Aufgabe mit Hilfe des Strahlensatzes sofort lösen können. Hat aber bis jetzt nur hj gezeigt (Monty kam erst jetzt ...). ich habe noch einen Beweis, der gänzlich ohne Algebra auskommt.
Dafür zunächst eine Behauptung.
Haben zwei seitenparallele Rechtecke, die eine gemeinsame Ecke C in der hier gezeigten Art & Weise besitzen, beide den gleichen Flächeninhalt, so liegt der gemeinsame Eckpunkt auf der Diagonalen TS des umhüllenden Rechtecks (hier ASFT).
Der Beweis läuft über einen Widerspruchsbeweis: angenommen C liegt nicht auf der Diagonalen TS.
So ist trotzdem das Dreieck △DCT kongruent zu △TCG und das Dreieck △BSC kongruent zu CSE. Zusammen mit der Voraussetzung, dass die beiden Rechtecke ABCD und CEFG flächengleich sein sollen, heißt das, dass die Vierecke ASCT und SFTC ebenfalls flächengleich sein müssen. Dies kann aber nicht sein, da die Fläche des Dreiecks △CST nicht leer ist, wenn C nicht auf der Diagonalen TS liegt → Widerspruch.
Mit diesem Werkzeug ausgerüstet, kann man nun die Gleichheit der Flächen der beiden Parallelogramme zeigen:

Da C auf der Diagonalen TS liegt, müssen aus Gründen der Symmetrie auch die Winkel ∠STF und ∠TFA (beide rot) gleich sein. Wegen der Parallelen durch AF und HL (rot) gilt das auch für die Winkel ∠HCD und ∠GLC - damit sind alle rot markierten Winkel gleich groß. Folglich sind auch die Dreiecke △TCG und △CLG kongruent. Gleiches gilt für △TCG und △HCD. Weiter sind auch wegen der Punktsymmetrie im Parallelogramm die Dreiecke △ABJ und △HCD kongruent und die Dreiecke △CLG und △KEF ebenso. Folglich sind alle hellblau markierten Dreiecke gleich groß.
Und wenn von der identischen Fläche der beiden Rechtecke ABCD und CEFG zweimal die gleiche Dreiecksfläche 'abgeschnitten' wird, so müssen die verbleibenden Flächenstücke gleich groß sein - hier die Parallelogramme AJCH und CKFL.
Der aufmerksame Leser hat vielleicht bemerkt, dass ich von der Vorgabe, dass ABCD ein Quadrat sein soll, gar keinen Gebrauch gemacht habe. Das ist auch nicht nötig! Obiges gilt auch, wenn ABCD ein beliebiges Rechteck ist.