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Das Viereck ABCD sei ein Quadrat. Die Verlängerung von DC über C hinaus endet in E. Die Verlängerung von BC über C hinaus endet in G.

blob.png

Das Rechteck CEFG sei flächengleich zu ABCD. Die Gerade AF schneidet CB in J und CE in K. Die Parallele zu AF durch C schneidet DA in H und GF in L. Zeige: Die Parallelogramme AJCH und CKFL sind flächengleich.


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Beste Antwort

Hallo Roland,

normalerweise sollte man die Aufgabe mit Hilfe des Strahlensatzes sofort lösen können. Hat aber bis jetzt nur hj gezeigt (Monty kam erst jetzt ...). ich habe noch einen Beweis, der gänzlich ohne Algebra auskommt.

Dafür zunächst eine Behauptung.

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Haben zwei seitenparallele Rechtecke, die eine gemeinsame Ecke CC in der hier gezeigten Art & Weise besitzen, beide den gleichen Flächeninhalt, so liegt der gemeinsame Eckpunkt auf der Diagonalen TSTS des umhüllenden Rechtecks (hier ASFTASFT).

Der Beweis läuft über einen Widerspruchsbeweis: angenommen CC liegt nicht auf der Diagonalen TSTS.

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So ist trotzdem das Dreieck DCT\triangle DCT kongruent zu TCG\triangle TCG und das Dreieck BSC\triangle BSC kongruent zu CSECSE. Zusammen mit der Voraussetzung, dass die beiden Rechtecke ABCDABCD und CEFGCEFG flächengleich sein sollen, heißt das, dass die Vierecke ASCTASCT und SFTCSFTC ebenfalls flächengleich sein müssen. Dies kann aber nicht sein, da die Fläche des Dreiecks CST\triangle CST nicht leer ist, wenn CC nicht auf der Diagonalen TSTS liegt \to Widerspruch.

Mit diesem Werkzeug ausgerüstet, kann man nun die Gleichheit der Flächen der beiden Parallelogramme zeigen:

blob.png

Da CC auf der Diagonalen TSTS liegt, müssen aus Gründen der Symmetrie auch die Winkel STF\angle STF und TFA\angle TFA (beide rot) gleich sein. Wegen der Parallelen durch AFAF und HLHL (rot) gilt das auch für die Winkel HCD\angle HCD und GLC\angle GLC - damit sind alle rot markierten Winkel gleich groß. Folglich sind auch die Dreiecke TCG\triangle TCG und CLG\triangle CLG kongruent. Gleiches gilt für TCG\triangle TCG und HCD\triangle HCD. Weiter sind auch wegen der Punktsymmetrie im Parallelogramm die Dreiecke ABJ\triangle ABJ und HCD\triangle HCD kongruent und die Dreiecke CLG\triangle CLG und KEF\triangle KEF ebenso. Folglich sind alle hellblau markierten Dreiecke gleich groß.

Und wenn von der identischen Fläche der beiden Rechtecke ABCDABCD und CEFGCEFG zweimal die gleiche Dreiecksfläche 'abgeschnitten' wird, so müssen die verbleibenden Flächenstücke gleich groß sein - hier die Parallelogramme AJCHAJCH und CKFLCKFL.

Der aufmerksame Leser hat vielleicht bemerkt, dass ich von der Vorgabe, dass ABCDABCD ein Quadrat sein soll, gar keinen Gebrauch gemacht habe. Das ist auch nicht nötig! Obiges gilt auch, wenn ABCDABCD ein beliebiges Rechteck ist.

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mit Hilfe des Strahlensatzes sofort lösen können. Hat aber bis jetzt nur hj gezeigt (Monty kam erst jetzt ...)


Hallo Werner,

meine Lösung ist aber deutlich kompakter als die anderen Antworten.

:-)

meine Lösung ist aber deutlich kompakter als die anderen Antworten.

Ja - das sehe ich auch so! ;-)

Übrigens muss es "kongruent" heißen.

:-)

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Wir wissen, dass a2=b·c gilt.

Darum gilt auch a/c=b/a.

Ich betrachte das große rechtwinklige Dreieck, dessen Hypotenuse die lange rote Strecke ist.

Die Umkehrung des 1. Strahlensatz bedeutet, dass die roten Strecken parallel sind.

Die grünen Dreiecke gehen daher durch Parallelverschiebung ineinander über und sind damit kongruent. Die hellbraunen Dreiecke links von A1 und A2 sind kongruent zu den grünen Dreiecken. Da das Quadrat und das Rechteck gleich große Flächen haben, gilt

A1=a22ADreieck=bc2ADreieck=A2A_1=a^2-2A_{\text{Dreieck}}=bc-2A_{\text{Dreieck}}=A_2

Parallelogramm2.jpg

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Aloha :)

Ziehe eine Linie durch die Punkte H und J. Ziehe eine weitere Linie durch die Punkte K und L. Identifiziere 4 gleich große Rechtecke, die durch ihre Diagonale halbiert sind.

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Da bleiben einige Fragen offen:

1. Ist HJ || AB?

2. Ist KL || CB?

3. Ist GL = AB?

4. Ist KL = 1/2AB?

Übrigens: Der Begriff der 'Linie' ist in der Geometrie keine Beschreibung einer Strecke oder einer Graden.

Die Zeichnung hätte auch so aussehen können:

blob.png

ich wollte ja eigentlich gar nicht antworten, da ich die Aufgabe zu einfach finde.

Ziehe eine Linie durch die Punkte H und J. Ziehe eine weitere Linie durch die Punkte K und L. Identifiziere 4 gleich große Rechtecke, die durch ihre Diagonale halbiert sind.

.. aber so einfach scheint es dann doch nicht zu sein. Zur weiteren Verwirrung habe ich die 'Linien' mal hellblau eingezeichnet:

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/jawruv3f/9/

Man kann die Figur durch Ziehen am Punkt EE manipulieren.

Oops, ich habe übersehen, dass nur die Parallelogramme als flächengleich vorausgesetzt werden. In der Skizze sah es so aus, als lägen die Punkte H, J, L und K auf halber Strecke. Lesen ist offenbar besser als nur gucken ;)

ich wollte ja eigentlich gar nicht antworten, da ich die Aufgabe zu einfach finde.

Da schließe ich mich dir in der Einschätzung und in der Handlung an :

Parallelogramme.jpg

A1 =  a*v =  au*(v/u)  =  au * (c+a)/(a+b)  =  au * [c*(c+a) / c*(a+b)] 
      =  au * [c*(c+a) / (ca + cb)]  =  au * [c*(c+a) / (ca + a2)]  
      =  au * [c*(c+a) / (c+a)*a]  =  au * c/a =  u*c =  A2

@R :
Hast du einen kurzen Beweis, der die Quadrat-Eigenschaften von ABCD benutzt oder warum setzt du die voraus ?

@WS :
Hast du einen rein geometrischen Beweis (vielleicht analog zu Euklids Scherung), der ohne Rechnungen auskommt ?

@WS :
Hast du einen rein geometrischen Beweis ...

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