Unabhängige/Abhängige Ereignisse

Question

Hallo :) Wir haben gelernt, dass Ergeinisse entweder voneinander abhängig sein können oder auch nicht.

Bsp.: Augensumme zweier Würfel beträgt 5; der erste Wurf ist eine Primzahl => unabhängig

Bsp. 2: Die augensumme ist 8, der erste Wurf ist eine Primzahl => abhängig

ich verstehe das jetzt leider GAR NICHT.
Wieso sollen die Ereignisse für 5 voneinander unabhängig, für 8 aber voneinander abhänging sein?!
Könnte es mir jemand bitte verständlich erklären :( Danke

Comments

Hallo,

am besten schaust Du nach, wie "unabhängig" bei Euch definiert ist und dann überprüfst Du diese Definition. Da es sich ja um elementare Würfelwürfe handelt, ist die Ermittlung der benötigten Wahrscheinlichkeiten nur eine kleine Fleißaufgabe.

Gruß

Answer 1

Zwei Situationen:

1. Es wird ein Zufallsversuch durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eingetreten ist, wird mit P(A) bezeichnet.
   
2. Es wird der gleiche Zufallsversuch durchgeführt. Dieses mal ist aber bekannt, dass Ereignis B eingetreten ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass jetzt auch Ereignis A eingetreten ist, kann jetzt neu berechnet werden, weil mehr Informationen über den Ausgang des Zufallsversuchs bekannt sind. Diese neu berechnete Wahrscheinlichkeit wird mit P_B(A) oder P(A|B) bezeichnet. Man nennt die neu berechnete Wahrscheinlichkeit "bedingte Wahrscheinlichkeit (von A unter der Bedingung B)"

Die Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P(A) = P_B(A) ist. Die Ereignisse A und B sind also unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit von A sich durch die Neubewertung durch das Wissen, dass B eingetreten ist, nicht ändert.

Einfachstes Beispiel für Unabhängigkeit ist:

• Zufallsversuch: es werden zwei Würfel geworfen
  
• Ereignis A: der zweite Würfel zeigt eine 4
  
• Ereignis B: der erste Würfel zeigt eine 3

Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Würfel 4 zeigt ist 1/6, egal ob der erste Würfel 3 zeigt oder nicht.

Bsp.: Augensumme zweier Würfel beträgt 5

Das ist Ereignis B. Das Ereignis B besteht aus den Ergebnissen (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)

der erste Wurf ist eine Primzahl

(1)        Das ist Ereignis A. Das Ereignis A besteht aus den Ergebnissen (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6). Das sind 18 Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eingetreten ist, wird mit P(A) bezeichnet.

Die Grundmenge aller Ergebnisse besteht aus allen Paaren (a,b) bei denen a und b natürliche Zahlen von 1 bis 6 sind. Das sind 36 Ergebnisse.

Laut (1) ist also

        P(A) = 18/36 = 1/2.

Dieses mal ist aber bekannt, dass Ereignis B eingetreten ist.

Die Grundmenge besteht jetzt nur noch aus den Paaren (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). Das sind nur noch 4 Paare, anstatt 36.

Von diesen 4 Paaren gehören nur noch (2,3) und (3,2) auch zu A. Also ist

        P_B(A) = 2/4 = 1/2 = P(A).

Deshalb sind A und B stochastisch unabhängig.

Bsp. 2: Die augensumme ist 8, der erste Wurf ist eine Primzahl

Wenn du das mal mit 8 anstatt mit 5 als Augensumme durchrechnest, dann wirst du feststellen, dass P(A) ≠ P_B(A) ist.

Answer 2

Die Augensumme
eines Standardwürfels beträgt 21,
es sind also ganz besondere Würfel.
Der zweite Wurf ist dann immer unabhängig vom ersten Wurf.

Comments

aber in dem 2. Bsp. ist der 2. Wurf irgendwie von dem 1. abhängig...ich verstehe nicht, wie es sein kann...

ich zitiere aus dem Buch

"Ein Würfel wird zweimal geworfen. An sei das Ereignis, dass die Augensumme n erzielt wird. B sei das Ereignis, dass im ersten Wurf eine Primzahl fällt. Zeigen Sie, dass A5 und B unabhängig ist, während A8 und B abhängig sind."

d.h.:

Bsp.: Augensumme zweier Würfel beträgt 5; der erste Wurf ist eine Primzahl => unabhängig

Bsp. 2: Die Augensumme ist 8, der erste Wurf ist eine Primzahl => abhängig

Ich verstehe nicht wieso es einen Unterschied machen soll, ob die Summe 5 oder eben 8 ist?!

wie das Buch unabhängige Ereignisse definiert:

"Ändert sich die Wahrscheinlichkeit von A durch das Eintreten von B nicht, so heißen A und B unabhängige Ereignisse"

das hilft mir aber nicht wirklich, dieses Beispiel mit A5 und A8 zu verstehen...

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Es war also die Augensumme der zwei Würfe )

Ich bin mir nicht sicher , doch es scheint einen Unterschied zu geben.

\( \begin{pmatrix}  2& 3&4&5&6&7 \\ 3 &4&5&6&7&8\\4&5&6&7&8&9\\5&6&7&8&9&10\\6&7&8&9&10&11\\7&8&9&10&11&12\end{pmatrix} \)

P(A2)= 1/36 = P(A12)

P(A3)= 2/36 = P(A11)

P(A4)= 3/36 = P(A10)

P(A5)= 4/36 = P(A9)

P(A6)= 5/36 = P(A8)

P(A7)= 6/36

Augensumme 8
Die Wahrscheinlichkeit P(A8)=5/36, dass durch 2 Würfe die Augensumme  8 erzielt wird.

P(2;3;5) =3/6 die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Wurf eine 2 oder 3 gewürfelt wird

(5/36 ) /  (3/6) ≠ 3/6 ,  die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Wurf die passende Augenzahl gewürfelt wird

Das Ereignis ist abhängig

Augensumme 5
Die Wahrscheinlichkeit P(A5)=4/36, dass durch 2 Würfe die Augensumme 5 erzielt wird.

P(2;3) =2/6 die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Wurf eine 2 oder 3 gewürfelt wird
(4/36 ) /  (2 /6) = 2/6 , die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Wurf die passende Augenzahl gewürfelt wird
Das Ereignis ist unabhängig