Berechnen Sie die Determinante von \varphi\alpha

Question

Aufgabe:

Zu $\alpha \in \mathbb{R}$ betrachten wir die lineare Abbildung $\varphi_{\alpha}$ :
$\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ mit
$$\varphi_{\alpha}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=\left(\begin{array}{c} \alpha x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ x_{1}+\alpha x_{2}+x_{3} \\ x_{1}+x_{2}+\alpha x_{3} \end{array}\right)$$
(a) Berechnen Sie die Determinante von $\varphi_{\alpha}$
(b) Bestimmen Sie für jedes $\alpha \in \mathbb{R}$ die Dimension des Kerns und des Bildes von
$\varphi_{\alpha}$
(c) Für welche $\alpha \in \mathbb{R}$ hat das lineare Gleichungssystem
$$\begin{array}{l} \alpha x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+\alpha x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+\alpha x_{3}=1 \end{array}$$
genau eine Lösung, mehrere Lösungen bzw. gar keine Lösung?

Answer 1

Schreib doch mal das Gleichungssystem in Matrix-Vektor-Form hin. Dann siehst Du die Lösung sofort.

Comments

Können Sie das klarer erklären?

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$$\varphi_{\alpha}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=\left(\begin{array}{c} \alpha x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ x_{1}+\alpha x_{2}+x_{3} \\ x_{1}+x_{2}+\alpha x_{3} \end{array}\right) = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$$