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kann mir jemand Aufgabe b) erklären?


Gegeben ist die Funktion \( f(x):=-2 x^{2}+8 \)
(a) Bestimmen Sie einen Defintionsbereich \( D \) des Bildes [-24,8]

X \( D=[-4,0] \)
O\( D=[-5,-1] \)
O \( D=\mathbb{R} \)
O \(  D=\emptyset \)

(b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion \( f^{-1}(y) \) zu dem Urbild und Wertebereich aus (a).

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Die Umkehrfunktion arbeitet mit vertauschtem Definitions- und Wertebereich der ursprünglichen Funktion.

Effektiv tauschst du Funktionswert und Argument aus der ursprünglichen Funktionsgleichung und stellst entsprechend um:

$$f(x)=-2x^2+8 \Rightarrow \text{Umkehrfunktion } f^{-1} \text{ mit } x=-2f^{-1}(x)^2+8 \xrightarrow{\text{ Umstellen nach } f^{-1}} \,...$$




Edit (zum besseren Verständnis):

In diesem Falle gibt es eigentlich keine Umkehr"funktion", sondern lediglich eine Umkehrrelation, die definiert wird mit $$f^{-1}(x)=\left\{\left(x|\sqrt{\frac{-x}{2}+4}\right), \left(x|-\sqrt{\frac{-x}{2}+4}\right) : \ x\in [-24,8]\right\}$$

Diese ist im Übrigen nicht eindeutig (damit auch keine Funktion). Die Aufgabe ist in der Hinsicht also nicht gut gestellt worden.

Allerdings kannst du dir jeweils eine Funktion

$$f^{-1} = \left\{\left(x|\sqrt{\frac{-x}{2}+4}\right): x\in [-24,8]\right\}$$

bzw.

$$f^{-1} = \left\{\left(x|-\sqrt{\frac{-x}{2}+4}\right): x\in [-24,8]\right\}$$

definieren um das Problem zu umgehen.

Damit du den Wertebereich von [-4,0] erhältst, würdest du letztere Variante wählen.

Dann gilt insbesondere auch:

$$f^{-1}(x)=-\sqrt{\frac{-x}{2}+4}=-\sqrt{\frac{1}{4} \cdot (-2x+16)}=-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{-2x+16}$$

Avatar von 2,9 k
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y= -2x^2+8

(y-8)/-2 = x^2

x = ±√ (8-y)/2

f^-1= y = ± √(4-y/2)

Avatar von 81 k 🚀

stimmt leider nicht. Laut Lösung stimmt: -1/2 * √(-2y+16)

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