Inverse und Determinante einer Matrix bestimmen

Question

Aufgabe

Determinante finden und inverse

\( \begin{pmatrix} 1&2&2\\2&0&2\\2 & 2 &1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz

ICH habe determinant 8 gefunden

wie finde ich die Inverse

Answer 1

Die Determinante ist richtig.

[1, 2, 2, 1, 0, 0]
[2, 0, 2, 0, 1, 0] 2*I - II
[2, 2, 1, 0, 0, 1] 2*I - III

[1, 2, 2, 1, 0, 0]
[0, 4, 2, 2, -1, 0]
[0, 2, 3, 2, 0, -1] 2*III - II

[1, 2, 2, 1, 0, 0] 2*I - III
[0, 4, 2, 2, -1, 0] 2*II - III
[0, 0, 4, 2, 1, -2]

[2, 4, 0, 0, -1, 2] 2*I - II
[0, 8, 0, 2, -3, 2]
[0, 0, 4, 2, 1, -2]

[4, 0, 0, -2, 1, 2] I/4
[0, 8, 0, 2, -3, 2] II/8
[0, 0, 4, 2, 1, -2] III/4

[1, 0, 0, -0.5, 0.25, 0.5]
[0, 1, 0, 0.25, -0.375, 0.25]
[0, 0, 1, 0.5, 0.25, -0.5]

Answer 2

Inverse durch Zeilenumformungen in der Art, das links die

Einheitsmatrix erscheint

\( \begin{pmatrix} 1&2&2&1&0&0\\2&0&2&0&1&0\\2 & 2 &1 &0&0&1\end{pmatrix} \)

also erst mal :

2. Zeile minus 3. Zeile

\( \begin{pmatrix} 1&2&2&1&0&0\\0&-2&1&0&1&-1\\2 & 2 &1 &0&0&1\end{pmatrix} \)

Dann vielleicht : 3. Zeile minus 2* 1.Zeile

\( \begin{pmatrix} 1&2&2&1&0&0\\0&-2&1&0&1&-1\\0 & -2 &-3 &-2&0&1\end{pmatrix} \)

etc.

Am Ende steht dann rechts die Inverse

-o,5     0,25          0,5
0,25    -0,375      0,25
0,5      0,25         -0,5