die anzahl der injektiven Abbildungen f von B nach A

Question

Aufgabe

gegeben eine Menge mit |A| =5 und eine Menge |B| =4

berechnen die anzahl der injektiven Abbildungen f von B nach A

Problem/Ansatz:

Wie löst man das

danke im Voraus

Answer 1

Aloha :)

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens(!) ein Mal erreicht wird. Da die Definitionsmenge \(B\) genau 4 Elemente hat, werden aus der Zielmenge \(A\) für eine injektive Abbildung also genau 4 verschiedene Elemente benötigt.

Wir müssen also zunächst aus den 5 Elementen der Zielmenge \(A\) genau 4 auswählen, dafür gibt es \(\binom{5}{4}=5\) Möglichkeiten. Diese 4 ausgewählten Elemente können wir dann noch auf \(4!=24\) mögliche Arten anordnen. Insgesamt gibt es daher also:$$\binom{5}{4}\cdot4!=5\cdot24=120$$mögliche injektive Abbildungen \(B\to A\).

Comments

das heißt es ist gleich 5 elemente?

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Ja. Die Menge \(A\) hat 5 Elemente, z.B.$$A=\{\text{Anna}, \text{Bert}, \text{Claudia}, \text{Daniel}, \text{Eva}\}$$Die Menge \(B\) hat 4 Elemente, z.B.$$B=\{\text{Aufräumen}, \text{Staubsaugen}, \text{Kochen}, \text{Abwaschen}\}$$Eine mögliche injektive Abbildung wäre:$$\text{Aufräumen}\to\text{Anna}$$$$\text{Staubsaugen}\to\text{Bert}$$$$\text{Kochen}\to\text{Claudia}$$$$\text{Abwaschen}\to\text{Daniel}$$Bei dieser Abbildung wäre Eva die Glückliche, die nichts machen muss. Injektiv bedeutet hier, dass niemand 2 Aufgaben übernehmen muss.

Bei jeder injektiven Abbildung bleibt einer übrig, der nichts tun muss. Also gibt es 5 injektive Abbildungen.

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"Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens(!) ein Mal erreicht wird."

Das kann aber auch heißen, dass ein oder mehrere Elemente der Zielmenge gar nicht erreicht werden.

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Ja, aber ich muss ja jedes Element der Defintionsmenge irgendwohin abbilden. Ich brauche also mindestens so viele Elemente in der Zielmenge wie die Definitionsmenge hat. Das eine ungenutzte Element der Zielmenge sorgt dafür, dass die Abbildung nicht surjektiv ist.

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Das ist richtig.

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Die Hausarbeiten können aber auf 4! Arten auf die 4 Menschen aufgeteilt werden. Dann noch mit 5 multiplizieren, weil ja immer eine Person übrig bleibt.

:-)

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Oops Monty, danke dir!!!

Du hast natürlich völlig Recht... Ich korrigiere das noch, damit hier nichts Falsches als Antwort steht.

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Menschlich!

:-)

Answer 2

Die Anzahl der injektiven Abbildungen ist

$$ \frac{|A|!}{(|A|-|B|)!}=5!=120$$

:-)

Comments

Danke für Ihre

das ist die Methode oder?

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Ja.

...............

:-)