Bestimmen Sie die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion f mit Gardienten

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion $f(\vec{x})=\|\vec{x}\|, \vec{x} \in \mathbb{R}^{n}$ im Punkt $\vec{x}_{0} \neq \overrightarrow{0}$

Und hier ist meine Lösung:

$\bar{x}:$ Vektor $x$
$\|\bar{x}\|=\sqrt{x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}}$
$\|f(\bar{x})\| \cdot\|\bar{v}\| \cdot \cos \alpha=\|f(\bar{x})\| \cdot \cos \alpha$
wobei $\alpha$ der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist. Den gröbten Wert nimmt dieser Ausdruck für $\cos \alpha=1$ an, also für $\alpha=0$
d.h: $\bar{v}$ zeigt in Richtung von $f(\bar{x})$ die Gröse der Richtungsableitung ergibt sich dann zu $\|\nabla f(\bar{x})\|$ Den kleinsten Wert nimmt der Ausdruck für cos $\alpha=-1$ an, also für $\alpha=\pi$

Es gibt aber andere Lösung mit Gradienten, kann jemand mir helfen?

Comments

Answer 1

Aloha :)

Du hast hier den sehr wichtigen Sonderfall, dass der Gradient einer Funktion $f$ gesucht ist, die nur vom Betrag des Vektors abhängt. Ich schreibe lieber $\vec r$ an Stelle von $\vec x$, weil ich dann $r=\|\vec r\|$ als Kurzfassung für den Betrag des Vektors schreiben kann, ohne dass Missverständnisse auftreten. Bei $x=\|\vec x\|$ könnte man den Betrag mit der x-Komponente verwechseln oder $f(x)$ mit einer Funktion, die nur von einer Variablen abhängt. Sei also:$$f(\vec r)=f(r)\quad;\quad r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$$Wir bilden die partielle Ableitung nach der $i$-ten Komponente mit der Kettenregel:

$$\frac{\partial f(r)}{\partial x_i}=\frac{\partial f(r)}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x_i}=f'(r)\cdot\frac{\partial}{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$$$$\phantom{\frac{\partial f(r)}{\partial x_i}}=f'(r)\cdot\frac{2x_i}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}}=f'(r)\cdot\frac{x_i}{r}$$Damit lautet der Gradient:

$$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\cdot\begin{pmatrix}x_1/r\\x_2/r\\\vdots\\x_n/r\end{pmatrix}=f'(r)\cdot\frac{1}{r}\cdot\vec r=f'(r)\cdot\vec r^{0}$$Um den Gradient zu berechnen, brauchst du also nur die Funktion nach dem Betrag abzuleiten und das Ergebnis mit dem Einheitsvektor $\vec r^0$ zu multiplizieren.

Die in dieser Aufgabe gesuchte Richtung des stärksten Anstiegs ist also:$$\operatorname{grad}\left(\|\vec r\|\right)=\operatorname{grad}\left(r\right)=1\cdot\vec r^{0}=\vec r^{0}$$

Um zu verstehen, dass der Gradient die Richtung des stärksten Anstiegs angibt, betrachten wir die Änderung $\Delta f(\vec r)$ der Funktion bei kleinen Änderungen $\Delta\vec r$ von $\vec r$:$$\Delta f(\vec r)=\operatorname{grad}f(\vec r)\cdot\Delta\vec r$$Legt man speziell $\Delta\vec r$ in eine Richtung, in der sich $f(\vec r)$ gar nicht ändert, so ist$$\operatorname{grad}f(\vec r)\cdot\Delta\vec r=0$$Das sind aber gerade alle solche Änderungen $\Delta\vec r$, die innerhalb der Hyperebene mit konstantem Funktionswert $f(\vec r)$ liegen. Da das Skalarprodukt des Gradienten mit diesen Verschiebungen $\Delta\vec r$ Null ist, muss $\operatorname{grad}f(\vec r)$ darauf senkrecht stehen.

Comments

f(x,y)=((y−3)²)*cos(2x)+ye^(x2)
Bestimmen Sie eine Richtung
v=(spalten vektor v1 v2)mit ∥v∥=1, sodass die Steigung von f in Richtung v im Punkt(0,1)gleich null ist.
dann ist zu v1 und v2 zu suchen und Berechnen Sie weiterhin den stärksten Anstieg im Punkt (0,1):

könntest du bitte mir vielleicht mit dieser aufgabe helfen bedanke mich

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Mache ich gerne, aber stell das bitte als eigene Frage. Hier in den Kommentaren sollten nur Nachfragen zu der ursprünglichen Aufgabe stehen, sonst wird das ein großes Durcheinander.