Wie bildet man die stammfunktion dieser funktion?

Question

Kann mir jemand erklären wie man die stammfunktion so einer funktion bildet?

Die funktion lautet f(x)= (2x-x²)/(x-1)²

Ich weiß echt nicht wie das gehen soll... muss man da zuerst die stammfunktion von dem Zähler und dann vom Nenner bilden oder geht das auch in einem?

Answer 1

Hallo,

Führe zuerst eine Polynomdivision aus:

( - x^2  + 2x   ) : (x^2 - 2x + 1)  =  -1  Rest 1 
- x^2  + 2x - 1
—————————————————
              1

dann bekommst Du 2 einfache Integrale:

=∫ (-1) dx +∫  1/(x-1)^2 dx

Substituiere beim 2. Integral : z=x-1

F(x)= - x + 1/(1-x) +C

Answer 2

Schreibe den Bruch mal um

f(x) = (2·x - x^2) / (x - 1)^2 = 1/(x - 1)^2 - 1

Jetzt sollte das recht einfach fallen die Stammfunktion zu finden.

F(x) = -1/(x - 1) - x + C

Es gilt übrigens, dass man Brüche bei denen das Zählerpolynom nicht von einem kleineren Grad als das Nennerpolynom ist, zunächst über eine Polynomdivision vereinfachen kann.

Comments

muss man da zuerst die stammfunktion von dem Zähler und dann vom Nenner bilden oder geht das auch in einem?

Das wäre fatal. Denn beim Ableiten darf man ja auch nicht Zähler und Nenner getrennt ableiten sondern benutzt die Quotientenregel.

Also immer daran denken: Nie Zähler und Nenner getrennt integrieren.