Integral mit zwei "dx"

Question

Aufgabe:

Hi, ich übe gerade Integralaufgaben und bin über eine Aufgabe gestolpert die mich sehr verwirrt-

Es geht um das  ∫ dx/(1-cos(x))*dx

mit dem Hinweis das man die Substitution t = tan x/2 nutzen sollte.

Problem/Ansatz:

Mein Problem bezieht sich überwiegend auf das dx, also ich kannte bisher keine Aufgabentypen die zwei mal dx haben.

Ich hätte jetzt intuitiv das dx im Zähler nach außen gestellt, das Integral "normal" gelöst und zum Schluss dann nochmal das ganze abgeleitet?...

Die Bedeutung vom dx ist ja die breite der einzelnen kleinen Rechtecke die insgesamt das jeweilige integral bilden, aber ich weiß nicht was die breite ist, deshalb weiß ich nicht mit was ich multiplizieren soll...

Würde mich über Hilfe bei dieser Aufgabe sehr freuen

Liebe Grüße

Comments

Ein Integral mit zwei gleichen Differentialen gibt es nicht. Da muss sich jemand vertippt haben.

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Ja das kann auch sein...

Answer 1

Aloha :)

Das mit dem doppelten "dx" ist Unsinn und muss ein Tippfehler oder Copy-Paste-Fehler sein. Für die Berechnung des Integrals betrachte zunächst:$$1-\cos x=1-\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=1-\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=1-\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}$$$$=\sin^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}=2\sin^2\frac{x}{2}$$Damit ist nun:$$I=\int\frac{1}{1-\cos x}dx=\int\frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}dx$$Substution:$$t=\tan\frac{x}{2}\quad;\quad\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}\;\Leftrightarrow\;dx=2\cos^2\frac{x}{2}\,dt$$Wir setzen ein:$$I=\int\frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}\cdot2\cos^2\frac{x}{2}\,dt=\int\frac{\cos^2\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}}\,dt=\int\frac{1}{\tan^2\frac{x}{2}}\,dt=\int\frac{1}{t^2}\,dt$$$$\phantom{I}=-\frac{1}{t}+c=-\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}+c=\boxed{c-\cot\frac{x}{2}}$$