Ich versuche mal die Frage so zu formulieren, dass man damit etwas machen kann.
Gegeben u = (1, 2,5, -3 ), v =(2, 3,-1, 4); w=(3, 8,-3,-5) . Bestimme die Dimension und eine Basis der linearen Hülle von u,v,w. Das wäre dann span(u,v,w).
Da du nur 3 Vektoren und nach deiner Vermutung noch den Nullvektor hast, kann da maximal die Dimension 3 resultieren. Grund: 0=0*u
Nun musst du noch schauen, ob die 3 gegebenen Vektoren linear abhängig sind, d.h. ob
au + bv + cw = 0 nichtrivial lösbar ist.
Es ergibt sich das Gleichungssystem
a + 2b + 3c =0
2a + 3b + 8a = 0
5a - b -3c= 0
-3a + 4b -5c=0
Ich berechne mal die Determinante der 3*3-Matrix aus den ersten 3 Zeilen
Det ( (1 2 3)(2 3 8) (5 -1 -3))
= -9 + 80 -6 -(45 -8-12) = 65 - 25 = 40≠0
Damit ist gezeigt, dass u,v,w linear unabhängig sind. (Somit kommt nur a=b=c=0 in Frage).
Da die Vektoren u,v und w linear unabhängig sind und ihre lineare Hülle aufspannen, bilden sie auch eine Basis von span(u,v,w).
