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Aufgabe:

Um eine Aussage der Form \( \forall x \in M: \mathbf{A}(x) \) (lies: , für alle Elemente \( x \) aus der Menge \( M \) gilt \( \left.\mathbf{A}(x)\right) \) zu beweisen, muss man \( \mathbf{A}(x) \) für alle \( x \) bestätigen. Um eine solche Aussage zu widerlegen genugt es allerdings ein Gegenbeispiel anzugeben, d.h., ein \( x \) für das \( \mathbf{A}(x) \) nicht gilt.


Um eine Aussage der Form \( \exists x \in M: \mathbf{A}(x) \) (lies: "es existiert ein Element \( x \) aus der Menge \( M \) fur das \( \mathbf{A}(x) \) gilt" ) zu beweisen, genügt es ein Beispiel anzugeben. Um eine solche Aussage zu widerlegen muss man zeigen, dass \( \mathbf{A}(x) \) fur alle \( x \) falsch ist.

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:


(a) \( \forall n \in \mathbb{N}: \) n ist eine Primzahl
(b) \( \forall n \in \mathbb{Z}: n(n+1)(n+2) \) ist durch 3 teilbar.
(c) \( \forall a \in \mathbb{Q} \exists b \in \mathbf{Q}: a b=1 \)
(d) \( \exists a, b \in \mathbb{N}: a^{2}+b^{2}=6 \)
(e) \( \forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon>0: \exists N \in \mathbb{N}, N>0: \forall n \in \mathbb{N}, n>N: \frac{1}{n}<\epsilon \)
Hinweis: Drücken Sie \( n \) fur beliebiges \( \epsilon \) durch \( \epsilon \) aus, um ein geeignetes \( N \) zu finden.

4d): Meiner Meinung nach kann das nicht stimmen wenn a,b Element aus den Natürlichen Zahlen sein soll. Ich soll die gegebene Aussage jetzt widerlegen und zeigen, dass  es für alle a,b falsch ist. Wie macht man das? So wie bei der vollständigen Induktion nur, dass man hier eben etwas widerlegt anstatt beweist?

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2 Antworten

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Bei d) musst du nur die wenigen möglichen Fälle (keine der Quadratzahlen darf größer als 6 sein) durchspielen.

(Und natürlich musst du begründen, dass weder a² noch b² größer als 6 sein dürfen.)

Avatar von 53 k 🚀
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1^2 + 1^2 = 2
1^2 + 2^2 = 5
2^2 + 1^2 = 5
2^2 + 2^2 = 8

Warum kann es nicht gelten wenn a oder b >= 3 gilt?

Avatar von 477 k 🚀

danke! hab es jetzt verstanden

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