Substitution und komplexe Zahlen: z^2 - 9z + 20 = 0. Rücksubstitution.

Question

Hallo alle miteinander!

Ich habe sogar zwei Fragen an euch. Die erste handelt um die Substitution:
Ich habe die Aufgabe: x^4 - 9x^2 + 20 = 0

Jetzt muss man irgendeinen Buchstaben aussuchen, nehmen wir mal z = x^2.
Somit erhalten wir z^2 - 9z + 20 = 0

Durch die PQ-Formel erhalte ich die Ergebnisse
z1,2 = +- 5
z3,4 = +- 4

Meine Frage ist, wie vollziehe ich eine Rücksubstitution? Gibt es mehrere Dinge die man bei der Rücksubsitution beachten muss? Oder muss man nur die Wurzel ziehen? Wenn man die Wurzel ziehen muss, bin ich auf die Ergebnisse x1,2: +-2,23 und x3,4: 2,00 gekommen.

Zu den Komplexen Zahlen, wollte ich gerne erfahren wie man mit Komplexen Zahlen rechnet (aus reinem Interesse) und welche wichtigen Regeln es gibt.

Gruß :)

Comments

Ach und noch was, was wenn ich eine Aufgabe habe die x^4 und x^3 beeinhaltet? Ist dann überhaupt eine Substitution möglich, da ja die Exponenten unterschiedlich sind?

Danke ^^

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Nein, eine Substitution ist dann nicht möglich. Eventuell ausklammern oder aber Polynomdivision führen eventuell zum Ziel.

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Ja. Da musst du dir dann was Anderes einfallen lassen. Möglich ist z.B. , dass man x oder x^2 ausklammern kann.

Answer 1

z² - 9z + 20 = 0           |Faktorisieren oder pq-Formel richtig benutzen.

(z-4)(z-5) =0

z1 = 4                

z2=5

 (Beachte: -4 und -5 haben hier nichts zu suchen. ergeben sich nicht aus der pq-Formel)

Jetzt rücksubstition.

x^2 = z

x^2 = 4 -----> x₁ = 2, x₂ = -2

x^2 = 5 → x₃= √5, x₄ = -√5

Answer 2

Hi,

Deine Lösung von z ist nicht korrekt. Wie kommst Du auf die doppelten Vorzeichen. Du hast eine quadratische Gleichung und kannst deshalb nur zwei Lösungen erhalten!

 

z² - 9z + 20 = 0

z₁ = 4

z₂ = 5

Nun hattest Du doch gewählt z = x^2, folglich ist x = ±√z

x_1,2 = ±√z₁ = ±2

x_3,4 = ±√z₂ = ±√5

 

Alles klar?

Für komplexe Zahlen schau mal hier rein: http://www.mathe-online.at/mathint/komplex/i.html

 

Grüße

Answer 3

Die beiden Lösungen nach Anwendung der pq-Formel sind:

z₁ =  5

z₂ = 4

Mehr als zwei Lösungen kann eine quadratische Gleichung nicht haben. Die beiden anderen Lösungen, die du angegeben hast, nämlich z₃ = - 5 und z₄ = - 4 sind falsch (mache die Probe durch Einsetzen).

Für die Rücksubstitution benutzt du die Gleichung

x ² = z₁ = 5

bzw.

x ² = z₂ = 4

und erhältst durch Wurzelziehen die Lösungen der ursprünglichen Gleichung:

x_1,2 = ±√ 5

bzw.

x_3,4 = ± 2

 

Die Frage nach dem Rechnen mit komplexen Zahlen solltest du vielleicht noch etwas spezifizieren, sonst muss ich einen Roman schreiben :-)