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Aufgabe:

$$ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} : x \mapsto x^2 $$

Gib zwei verschiedene

$$ g: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $$

$$ g': \mathbb{N} \to \mathbb{N} $$

mit $$ g \circ f = g' \circ f = id_N $$

Problem/Ansatz:

Wie findet man zwei verschiedene Funktionen, die f(x) als Input haben und idN als Output? Zuerst habe ich mir g(x) = Wurzel(x) überlegt, aber das liegt nicht in den natürlichen Zahlen? Alles andere, was ich mir überlege erfüllt nicht die Bedingungen.


Ich freue mich über alle Tipps und Tricks :D!

von

Fehlerhafte Antwort (zurückgezogen)

Nein, \( 2x^2 = 1 \) hat keine Lösung in \( \mathbb{N} \). Kann man also daraus schließen, dass \(g(x^2)=g'(x^2)=x\) nicht erfüllt werden kann?

Genau. Denn jede Funktion \(g\), die \(g(x^2)=g'(x^2)=x\) erfüllt, muss auch irgendwie \(2x^2=1\) erfüllen. Für alle \(x\in \mathbb{N}\) gibt es aber keine Lösung und damit auch nicht eine solche Funktion.

Interessant. Ich habe im Irrglauben gelebt, dass wenn steht "gib an", auch Antwortmöglichkeiten zum Angeben existieren müssen. Falsch gedacht :D. Auf der Uni ist das anders.

Oh, das habe ich gar nicht gelesen - Ich dachte, dass dort "Gibt es" steht :o

Dann schaue ich mir das doch nochmal an, weil das wäre eher untypisch.

Ne, muss gestehen, dass mir nichts auffällt. Vielleicht mischt ja ein Dritter noch etwas dazu.

Ein schreckliches Beispiel. Ein Mitglied einer Discord-Gruppe sagt, dass es in den natürlichen Zahlen Lösungen gibt (er verrät mir nicht welche :c). Nur in größeren Mengen wie Z gibt es keine weil \(-x = id(-x) = g((-x)^2) = g(x^2) = id(x) = x\). Vielleicht hilft dir das ja.

Dran denken dass die Funktionen \(\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) sind, Ableitungsgedöns funktioniert also nicht. Mit \(g'\) ist denke ich nicht die Ableitung von \(g\) genannt sondern irgendeine andere Funktion.

Hallo rafael, soll \(g'(x)\) die Ableitung von \(g(x)\) sein oder sind das zwei unterschiedliche Funktionen einfach?

Vorausgesetzt ist nur die Gleichheit von \(g(x^2)=g'(x^2)\).

Ok, verstanden.

Stimmt, das ist der Fehler, der in meiner bisherigen Antwort steckt. Die ganze Infinitesimalrechnung kann man ja wegwerfen.

hairbert hat es aufgeklärt: das sind zwei verschiedene Funktionen, nicht die Ableitung *facepalm*

Oh man, die Bezeichnung ist aber auch echt verwirrend. xD

Die Bezeichnung der Funktion mit \(g'(x)\) ist echt ein bisschen irreführend xD

Sorry, so ist das Beispiel :c..

Alles gut, haha. :D Dafür kannst du ja nichts

Alles gut, ich ärgere mich nur gerade, dass ich versucht habe, mit der Ableitung von einer Funktion von \(\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) zu rechnen. Zeit, um ins Bett zu gehen :p

Jeder macht mal Fehler und aus denen lernt man auch am Besten. Also kein Beinbruch :D

Aber \(g\) und \(g'\) zu verwenden, um damit zwei verschiedene Funktionen einzuführen, ist schon schäbig. Weitere Beispiele:

\(\frac{\pi}{2}=\pi.5\)

\(\{1,...,2\}\)

\(\int \limits_{\forall}^{\exists }\in \mathrm{d}\in\)

\(8^T=\infty\)

\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos(\pi)=-\sin(\pi)\) (ist richtig)

Wieso liegt Wurzel(x^2) nicht in den natürlichen Zahlen?

Bedeutet der ' wirklich, das g' die Ableitung von g ist, oder soll es nur g von g' unterscheiden, da ja zwei verschiedene Funktionen gesucht werden ?

Was ist das Ergebnis von

Wurzel(x^2), ist das nicht |x| und ist das nicht die Identische Abbildung?

Was ist x^2/|x| ? Ist das nicht auch |x|?

Keine Ahnung, aber viele Fragen und alle drehen sich um den Absolutbetrag.

Ich habe jetzt noch gerätselt und gelitten, aber die Lösung ist tischfertig ^^:

{g: x abgebildet auf sqrt(x), wenn es ein a ^ 2 = x, g x abgebildet auf x, wenn es kein a ^ 2 = x}

{g': x abgebildet auf sqrt(x), wenn es ein a ^ 2 = x, g' x abgebildet auf 0, wenn es kein a ^ 2 = x}

Die geforderte Bedingung ist dadurch erfüllt!

Vielen, vielen Dank für all eure Tipps <3!

2 Antworten

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Beste Antwort

Da unsere Funktionen alle \(\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) sind, sagt deine Gleichung quasi nur aus, dass deine Funktionen Quadratzahlen auf ihre Wurzel schicken sollen. Davon gibts natürlich sehr viele Funktionen, im Grunde kannst du den Funktionswert jeder nicht-Quadratzahl frei wählen. Aus Faulheit schlage ich einfach mal \(g(x)=\lceil \sqrt{x}\rceil, g'(x)=\lfloor \sqrt{x}\rfloor\) vor, quasi deine Idee nur hat mit Auf- bzw. Abrunden, damit wir in den natürlichen Zahlen landen.

von 1,0 k

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Was ist mit g(f(x )) = Wurzel (f(x))?

Was ist mit g' (f(x))=f(x)/x

Oder h(f(x))= f(x)/|x|

von 4,4 k

Nein, das geht nicht.

\(g: \mathbb{N}\to \mathbb{N}\) bedeutet, dass dein Bild \(\mathbb{N}\) ist. Was ist aber wenn du z. B. \(g(5)\) berechnest? Dann hast du \(g(5)=\sqrt{5}\notin \mathbb{N}\).

Du musst wie hairbeRt die untere bzw. obere Gaußklammer verwenden.

g wird doch nur auf f angewendet,

Das Ergebnis von f sind nur Quadratzahlen.

In der Aufgabenstellung wird aber gefordert, dass schon \(g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) ist und nicht nur \((g\circ f): \mathbb{N}\to\mathbb{N}\). Das ist ein Unterschied.

Gut, dann eben Ganzzahl,von Wurzel .Ist jetzt ja auch entschieden.

Aber die Ableitung ist vom Tisch.

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