0 Daumen
681 Aufrufe

Aufgabe:beweisen oder widerlegen

∀x ∈ R: |x − 2| − |x − 4| ≤ 4.


Problem/Ansatz:

Man muss die aussage denke mal widerlegen da man nie =4 erreicht wird, nur weiß ich nicht wie ich das darstellen soll.

Avatar von

Die Aussage sagt nicht aus, dass das Ergebnis gleich 4 sein muss. Die Aussage sagt, dass für alle reellen Zahlen der Abstand von x und 2 subtrahiert mit dem Abstand von x und 4 immer kleiner oder gleich 4 ist.

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Die Aussage ist wahr.

Ich stelle erstmal die Ungleichung um: \(\lvert x-2\rvert -\lvert x-4\rvert \leq 4 \iff \lvert x-2\rvert \leq \lvert x-4\rvert+4\)

1. Fall \(x\geq 2\) und \(x<4\): $$\begin{aligned}x-2&\leq -(x-4)+4&&\lvert\; (x-2) \text{ positiv, } (x-4) \text{ negativ}\\x &\leq -(x-4)+6\\x&\leq -x+4+6\\ 0&\leq 10\quad \checkmark\end{aligned}$$

2. Fall \(x\geq 4\): $$\begin{aligned}x-2& \leq x-4+4&&\lvert\;\text{beide Terme positiv oder } 0\\x-2&\leq x\\-2&\leq 0\quad \checkmark\end{aligned}$$

3. Fall \(x<2\): $$\begin{aligned}-(x-2)& \leq -(x-4)+4&&\lvert\;\text{ beide Terme negativ}\\-x+2&\leq -x+8\\2&\leq 8 \quad \checkmark\end{aligned}$$

Aussage ist für alle Fälle wahr \(\implies\) Aussage wahr für alle x aus den reellen Zahlen!

Avatar von 2,1 k

Danke, habe es jetzt verstanden

Ja, gern geschehen.

0 Daumen

Die Ungleichung gilt nicht für alle x∈ℝ.

Avatar von 123 k 🚀

Warum denn x>=3/4? Wenn ich z.b sowas wie 5 einsetzte bekomme ich 2 was aber nicht gleich 4 ist sondern nur kleiner als 4? Vielleicht verstehe ich gerade auch was falsch

Man kann sehr wohl beweisen, ob die Aussage wahr oder falsch ist. In diesem Falle wird ja behauptet, dass für alle reellen Zahlen x die Ungleichung s.o. gilt. Nun können wir uns entweder ein Gegenbeispiel überlegen (falls eines existiert) oder zeigen, dass die Aussage wirklich für alle reellen Zahlen gilt.

Habe meine Antwort verbessert.

Die Aussage gilt aber auch zum Beispiel für \(x=10\), also kann deine Lösungsmenge nicht stimmen.

Wie findet man geeignet ein gegenbeispiel? Wieß leider wirklich nicht wie ich da vorangehen soll...

Du hast recht.

Bertan, die Aussage ist wahr - siehe meine Antwort

Kein Problem Roland, wir sind ja alle nur Menschen. Jeder macht Mal einen Fehler.

@Bertan

Wie findet man geeignet ein gegenbeispiel?

Es gibt kein Gegenbeispiel.

:-)

0 Daumen

Interessant ist es, sich den Funktionsgraphen anzusehen zum gegebenen Term anzusehen.

f(x)=|x − 2| − |x − 4|

x<2:  f(x)=-(x-2)-(-(x-4))=-x+2+x-4=-2≤4

2≤x≤4:  f(x)=(x-2)-(-(x-4))=x-2+x-4=2x-6

Ein steigender Geradenabschnitt mit den Endpunkten (2|-2) und (4|2). Da f(4)=2 gilt, ist die Ungleichung hier auch erfüllt.

x>4:  f(x)=(x-2)-(x-4)=x-2-x+4=+2≤4

:-)

Avatar von 47 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community