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Aufgabe:

Lösen Sie die folgende Gleichung:

$$e*e^{x+2}=(e^{4})^{x}$$

Ansatz:

$$e^{x+3}=e^{4x} | ln()$$

$$x+3*ln(e)=4x*ln(e) | ln(e)=1$$

$$x+3=4x | :x$$

$$\frac{3}{x}=4 | *x$$

$$3=4x|:4$$

$$x=\frac{3}{4}$$

Kann mir jemand sagen, was ich dort falsch mache?

Ich habe alle Regeln richtig angewendet...

Die 3/4 habe ich im TR auf beiden Seiten eingegeben und bekomme was anderes raus. Daraus schließe ich, dass 3/4 nicht das gesuchte X ist

von

Hey Martin, noch ein kleiner LaTeX bzw. Mathjax-Tipp: Du kannst die Formeln auch alle Inline schreiben, also ohne Zeilenumbruch. Das geht mit \( ... \) als Begrenzer. Außerdem kannst du Malzeichen mit \cdot schreiben.

Danke. Werde ich das nächste mal benutzen

Für das Erstellen von Gleichungssystemen in LaTeX habe ich auch einen Wissensartikel gemacht, den kannst du dir hier angucken.

3 Antworten

+1 Daumen

Hallo,

es gilt:$$ e^1\cdot e^{x+2}=(e^4)^x \Leftrightarrow e^{x+3}=e^{4x}$$

Vergleiche mal die Exponenten. Der Ausdruck wäre ja nur gleich, wenn im Exponent die gleiche Zahl steht, z. B. \(e^2=e^2\) oder \(e^5=e^5\). Genau aus diesem Grund betrachten wir jetzt nur den Exponenten:

\(x+3=4x \Leftrightarrow 3=3x \Leftrightarrow \color{red}{x=1}\), denn dann ist \(e^4=e^4\, \, \checkmark\)

Alternativ könntest du bei \(e^{x+3}=e^{4x}\) auf beiden Seiten den \(\ln(...)\) anwenden, dann kommst du ebenfalls auf \(x+3=4x\). Es ist aber nicht schlecht sich einen Blick für derartige Betrachungen anzueignen.

von 22 k

Danke, das hat mir sehr geholfen. Mit dem ln (x) ist es aufwändiger.

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Hallo Martin,

du kannst die Gleichungen folgendermaßen umformen: $$\begin{aligned}\mathrm e\cdot \mathrm e^{x+2}&=\left(\mathrm e^{4}\right)^{x}&&\lvert\; x^a\cdot x^b=x^{a+b}, \quad \left(x^{a}\right)^b=x^{a\cdot b}\\ \mathrm e^{x+3}&=\mathrm e^{4x}\\\ln\left(\mathrm e^{x+3}\right)&=\ln\left(\mathrm e^{4x}\right)&&\lvert\; \ln{\mathrm e^{x}} = x\\ x+3&=4x&&\lvert\; \div x\\ \color{red}1+3/x&=4 &&\lvert\;-1 \quad \text{ Du hast die } \color{red}1 \text{ vergessen!}\\3/x&=3&&\lvert\; \cdot \phantom{\div\!\!}x\\3&=3x&&\lvert\;\div 3\\x&=1\end{aligned}$$ Dein Fehler war, dass du vergessen hast, dass gilt \(\frac{x}{x}=\tfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}=\color{red}1\). Die restlichen Umformungen waren richtig.

von 1,7 k

Danke Doesbaddel. Jetzt weiß ich wo mein Fehler war.

Kein Problem :)

0 Daumen

Aloha :)

$$\left.e\cdot e^{x+2}=(e^4)^x\quad\right|\quad e=e^1$$$$\left.e^1\cdot e^{x+2}=(e^4)^x\quad\right|\quad\text{links: \(a^b\cdot a^c=a^{b+c}\)}$$$$\left.e^{1+x+2}=(e^4)^x\quad\right|\quad\text{rechts: \((a^b)^c=a^{bc}\)}$$$$\left.e^{x+3}=e^{4x}\quad\right|\quad\ln(\cdots)$$$$\left.(x+3)\ln e=4x\ln e\quad\right|\quad\ln e=1$$$$\left.x+3=4x\quad\right|\quad-x$$$$\left.3=3x\quad\right|\quad\div3$$$$x=1$$

von 44 k

Danke für deine Antwort.

Wie kommst du von x+3 = 4x zu 3 = 3x ?

x+3 = 4x  | -x

3     =4x-x

4x=x+x+x+x

und damit 4x-x=x+x+x+x-x=3x

Ich subtrahiere auf beiden Seiten \(x\). Also bei$$x+3=4x$$wird links und rechts \(x\) subtrahiert:$$x+3-x=4x-x$$$$3=3x$$

Das ist mir jetzt peinlich. Stimmt, da hatte ich einen Hänger. : /

Ist doch nicht schlimm, wir sind alle nur Menschen. Kann jedem Mal passieren.

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