Finde eine Ebene, die die Gerade nicht schneidet

Question

Aufgabe:

Finde eine Ebene, die die Gerade \( \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + \lambda\cdot \begin{pmatrix} 3\\5\\4 \end{pmatrix} \) NICHT schneidet. Gib sie in Parameterform an.

Problem/Ansatz:

"Nicht schneidet" bedeutet ja parallele Vektoren. Dafür könnte ich Vielfache von λ nehmen. Jetzt bin ich mir aber nicht sicher, ob das nun Stützvektor oder Richtungsvektoren sind bzw. wo ich den fehlenden Stützvektor herbekomme.

Kann mir das jemand erklären?

Comments

Für die Ebene würde ich die Spannvektoren

\( \begin{pmatrix} 3\\5\\3 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

verwenden.

Und dann:

Hat

\(\underbrace{\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} +λ\cdot \begin{pmatrix} 3\\5\\4 \end{pmatrix}}_{\text{Gerade}} \quad = \quad \underbrace{\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \overbrace{\begin{pmatrix} 3\\5\\3 \end{pmatrix}}^{\normalsize\vec{u}} + s\cdot \overbrace{\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}}^{\normalsize\vec{v}}}_{\text{Ebene}}\)

eine Lösung? Wenn nein, dann gut. Wenn doch, dann ändere den Stützvektor der Ebene.

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Stützvektor ist frei gewählt? Und woher kommen die Werte für Vektor s?

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Ja, frei gewählt. Und s ist kein Vektor, sondern der Parameter eines der beiden Spannvektoren. Er hat keinen konstanten Wert, sondern ist variabel, so dass beliebige Punkte auf der Ebene erreicht werden können.

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War schlecht von mir formuliert. Warum \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) ?

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Du meinst also \( \vec{v} \) und nicht \( s \).

Wenn man die beiden von mir vorgeschlagenen Spannvektoren addiert, dann erhält man den Richtungsvektor der Geraden.

Das macht Sinn, denn in einer Ebene, die eine Gerade nicht schneidet, muss eine zweite Gerade liegen, die zur ersten Geraden parallel ist.

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Schon, aber wie kommt man auf genau \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) ? Was ist der Rechengang dahinter?

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Du kannst den ersten Spannvektor vom Richtungsvektor der Geraden subtrahieren, um auf \( \vec{v} \) zu kommen. Und den ersten Spannvektor habe ich so geschrieben, dass der zweite einfach wird.

Es gibt aber beliebig viele Lösungen zu dieser Aufgabe. Weil es beliebig viele Ebenen gibt, die sich mit der Geraden nicht schneiden, und für jede dieser Ebenen beliebig viele mögliche Parametergleichungen.

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Jede Ebene, die nicht den Stützpunkt der Geraden enthält und als einen Richtungsvektor den der Geraden hat ist parallel zur Geraden bei beliebigem zweiten Richtungsvektor (solange dieser linear unabhängig vom ersten ist, ansonsten würde ja keine Ebene aufgespannt).

Es gibt also unendlich viele parallele Ebenen zur gegebenen Geraden, such Dir eine aus. Am Ende muß man nur noch prüfen, ob der Stützpunkt der Geraden in der Ebene liegt.

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Das passt nicht zu dem was döschwo gemacht hat. Er hat den Richtungsvektor der Geraden ja nicht intakt behalten

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Viele Wege führen nach Rom…

Such Dir einen aus, den Du verstehst.

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Er hat den Richtungsvektor der Geraden ja nicht intakt behalten

Doch. Wenn r = 1 und s = 1, dann sind die Richtungsvektoren von Gerader und Ebene identisch. Darum schrieb ich, wenn man die Spannvektoren addiert, dann ergibt sich der Richtungsvektor der Geraden.

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Viele Wege sind unnötig verwirrend^^ Danke

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Die Wege sind selten verwirrend. Der Wanderer kann verwirrt sein. Aber das legt sich, wenn er die Wege versteht. Das ist nicht unnötig, sondern nötig. Nennt sich "lernen".

Answer 1

Gib sie in Parameterform an.

Na und?

Es ist trotzdem einfacher, mit der Koordinatenform anzufangen.

Die Ebene braucht einen Normalenvektor, der auf dem Richtungsvektor der Ebene senkrecht steht.

Ein solcher einfach zu findender Normalenvektor ist  \( \begin{pmatrix} 0\\0,8\\-1 \end{pmatrix}  \) , denn

 \(  \begin{pmatrix} 3\\5\\4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\0,8\\-1 \end{pmatrix} =0\) .

Die Ebene mit diesem Normalenvektor hat also die Form 0x +0,8y -1z=d.

Jede dieser Ebenen ist parallel zur Geraden oder enthält diese sogar.

Ich nehme jetzt einfach mal d=0.

Die Ebene 0,8y-1z=0 enthält den Punkt (1|2|3) nicht und ist also parallel zur Geraden.

Jetzt kann man aus dieser Ebene drei Punkte auswählen, die nicht alle auf einer gemeinsamen Gerade liegen.

Ich schlage (0|0|0), (1|0|0) und (0|5|4) vor. Eine mögliche Koordinatengleichung ist dann

\( \overrightarrow{x} = r\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 0\\5\\4 \end{pmatrix} \) .

Comments

der auf dem Richtungsvektor der Ebene senkrecht steht.

der Geraden.

Answer 2

Nicht schneidet bedeutet ja parallele Vektoren. Dafür könnte ich Vielfache von λ nehmen.

Das ist zu unpräzise. Welche Vektoren müssen parallel sein, wie viele? Gibt es weitere Einschränkungen?

Eine Gerade ist parallel zur Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist bzw. eine Linearkombination der beiden Spannvektoren der Ebene. Mache dir das anschaulich klar. Beachte außerdem, dass die beiden Spannvektoren der Ebene keine Vielfache voneinander sein dürfen.

Die von dir beschriebenen Vektoren müssen selbstverständlich Richtungsvektoren (bei der Ebene auch Spannvektoren genannt) sein, da ja die Richtungen parallel sein müssen. Der Stützvektor fungiert hier nur als Ortsvektor und gibt die Lage der Geraden bzw. der Ebene im Raum an. Nimm einfach einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt als einen Punkt der Ebene. Dann ist die Gerade echt parallel und kann nicht in der Ebene liegen.

Comments

Meine Gleichung wäre also grade \( \begin{pmatrix} 3\\5\\4 \end{pmatrix} \)*(\( \begin{pmatrix} 3\\5\\4 \end{pmatrix} \)x\( \begin{pmatrix} ?\\?\\? \end{pmatrix} \))=0
? ist der fehlende Spaltenvektor, \( \begin{pmatrix} 3\\5\\4 \end{pmatrix} \) ist sowohl gewählter Spaltenvektor der Ebene als auch gegebener Richtungsvektor der Geraden

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Solltest Du die Ebene nicht in Parameterform angeben?

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Am Ende ja. Bin ja noch am rechnen wie ich den 2. Spaltenvektor finde

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Es wurden jetzt mehrere Varianten genannt.

Answer 3

Eine Parameterform aufstellen geht wie folgt:

Eine Ebene, welche die Gerade enthält, ist doch mit Sicherheit:

$$\vec x = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3\\5\\4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

Dabei kannst du den zweiten Richtungsvektor beliebig und linear unabhängig zum ersten wählen. Jetzt musst du nur noch einen Stützvektor nehmen, der nicht auf der Ebene liegt, sodass man eine parallele Ebene erhält:

$$\vec x = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3\\5\\4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

Letztendlich kann man den Stützvektor so auch noch weglassen.

$$\vec x = r \cdot \begin{pmatrix} 3\\5\\4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$