Matrixnorm und Maximumsnorm

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(c) Geben Sie die \( \|\cdot\|_{T} \) zugeordnete Matrixnorm
$$ \|A\|_{T}:=\sup _{x \neq 0} \frac{\|A x\|_{T}}{\|x\|_{T}} $$
explizit durch die Matrixnorm \( \|.\|_{\infty} \) an.

Problem/Ansatz:

Ich weiß gar nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. T ist angegeben als T=(-3, 1; 1, 2) und außerdem gilt:

Text erkannt:

\( \|x\|_{T}=\|T x\|_{\infty} \)

Wenn ich die T-Norm einfach in die Maximumsnorm umschreiben, dann habe ich ja auch nichts gewonnen. Weiß hier einer weiter?

Answer 1

Wenn man \( \| A \|_\infty \) ausschreibt, s. https://de.wikipedia.org/wiki/Zeilensummennorm, kommt man auf $$ \| A \|_\infty = \text{max}_{ i=1 \cdots n } \sum_{j=1}^n \left| a_{ij} \right| $$ Bei Deiner Matrix $$ A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

ergibt sich also $$ \| A \|_\infty = \text {max} \{ 4,3 \} = 4  $$