Komplexe Zahlen - Potenzieren?

Question

Aufgaben:

z=(1+j)^5 / (1-j)^3  +  (1-j)^5 / (1+j)^3

Problem/Ansatz:

ich würde hier die einzelnen Terme potenzieren. Aber weiter weiß ich leider nicht.

Danke für die Mühe.

MfG

Answer 1

Aloha :)$$\phantom{=}\frac{(1+i)^5}{(1-i)^3}+\frac{(1-i)^5}{(1+i)^3}=\frac{(1+i)^5(1+i)^3}{(1-i)^3(1+i)^3}+\frac{(1-i)^5(1-i)^3}{(1+i)^3(1-i)^3}$$$$=\frac{(1+i)^8}{[(1-i)(1+i)]^3}+\frac{(1-i)^8}{[(1+i)(1-i)]^3}=\frac{(1+i)^8+(1-i)^8}{[1-i^2]^3}$$$$=\frac{(\sqrt2\,e^{i\pi/4})^8+(\sqrt2\,e^{-i\pi/4})^8}{2^3}=\frac{(\sqrt2)^8\,e^{i2\pi}+(\sqrt2)^8\,e^{-i2\pi}}{8}$$$$=\frac{2(\sqrt2)^8}{8}=\frac{2^4}{4}=4$$

Comments

Alternativ :

(1+i)^8 = (1-i)^8 = ((1±i)^2)^4 = (±2i)^4 = 2^4 = 16

PS : Kompliment ! Wer die Antwort nach weniger als 2 Minuten zur besten kürt muss sehr schnell lesen (von verstehen ganz zu schweigen) können.

Vermutlich hätte die etwas kürzere Antwort " 4 "  auch gereicht.

Answer 2

Hast du mal daran gedacht, für beide Brüche einen Hauptnenner zu erzeugen? Das beseitigt gleich mehrere Probleme.

Comments

Danke. Wie macht man das, das erzeugen eines Hauptnenners? Sorry ich bin nicht so fit darin

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Die Brüche \( \frac{a}{b} \) und \( \frac{c}{d} \) können durch Erweitern auf den gemeinsamen Nenner b*d gebracht werden.

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Womit erweitern?

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Womit erweitern?

Ist die Frage ernst gemeint? Der Bruch \( \frac{a}{b} \) hat den Nenner b.

NACH dem Erweitern soll er den Nenner b*d haben.

Und jetzt überlege mal, ob du die Frage

Womit erweitern?

wirklich stellen willst oder selbst beantworten kannst.