Hallo,
zunächst betrachten wir einmal folgende \(\sigma\)-Algebren:
\(\mathcal{F}_1=\{\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\).
\(\mathcal{F}_1\) ist eine \(\sigma\)-Algebra, weil
1.) \(\emptyset, \Omega \in \mathcal{F}_1\)
2.) \(\{1\}^C = \Omega \setminus \{1\} = \{2,3\} \in \mathcal{F}_1 \) und \(\{2,3\}^C=\Omega \setminus \{2,3\} = \{1\} \in \mathcal{F}_1\)
3.) \(\{1\} \cup \{2,3\} = \{1,2,3\} = \Omega \in \mathcal{F}_1\)
\(\mathcal{F}_1\) ist also eine Sub-\(\sigma\)-Algebra.
Weiter sei \(\mathcal{F}_2=\{\{2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}\). Dieses Mengensystem ist ebenso, in analoger Vorgehensweise, eine Sub-\(\sigma\)-Algebra.
Betrachten wir nun die Vereinigung dieser beiden Mengensysteme \(\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2=\{\{1\},\{2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}\) so sind die beiden ersten Bedingungen einer \(\sigma\)-Algebra erfüllt, wie man leicht nachprüft. Jedoch ist die Bedingung 3.) verletzt, denn
\(\{1\} \cup \{2\} = \{1,2\} \notin \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \).
Also ist die Vereinigung von \(\sigma\)-Algebren i.d.R keine \(\sigma\)-Algebra \(\square\)
