Icb hab mal gelesen
" Programmieren mit BASIC macht Freude. "
Genau so hier; ich bin absoluter Fan von ===> Edward Nelsons ===> Nonstandard Analysis ( NSA ; IST ) Lehrbuch Alain Robert bei Wiley; neueste Ausgabe wie immer bei Amazon. Wenn du nur mal bereit bist, dich auf Nelson einzulassen, dann wird die ganze komplizierte Analysis ersetzt durch Algebra so wie Quantorenlogik.
Eine Konvention vorab; die Variable " klein a " notiere ich nur dann als " groß A " , wenn ihr Wertebereich auf Standardwerte eingeschränkt wird. Die NSA ist " case sensitive " Und inf(initesimale) Größen werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet.
Zunächst möchte ich eine Definition voraus schicken. Ein Vektor x € |R ^ N heiße begrenzt, falls
(E) M > 0 : | x | < M ( 1a )
Aussage ( 1a ) ist keines Wegs tautologisch bzw. trivial; beGRENZT ist etwas anderes als beschränkt:
(E) m > 0 : | x | < m ( 1b )
Beachte Groß-Kleinschreibung. Es gilt nun der folgende
SCHATTENSATZ
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Sei x begrenzt; dann ist die folgende Zerlegung eindeutig
x = X0 + € ( 2a )
begrenzt = Standard + inf ( 2b )
X0 =: x * ( 2c )
x * heißt Schatten von x
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Typisch für diese Teorie sind ja die ====> impliziten Definitionen.
" Eine Menge O ist offen <===>
x * € O ===> x € O ( 3 ) "
Etwas salopp formuliert: Jede inf Umgebung von x * liegt noch innerhalb O . Was ich an der NSA ungemein schätze; in einem viel höheren Maße als in der klassischen Analysis wirst du gezwungen, über den Sinn deines Tuns nachzudenken. Das äußert sich hier vor allem in den Indexmengen, die der Herr Professor mal grad eben in einem Nebensatz einführt. Aber hier müssen wir das schon bissele genauer handhaben.
Gehen wir aus von einer endlichen Indexmenge E .
" Eine Menge besteht ausschließlich aus Standardelementen dann und nur dann, wenn sie Standard endlich ist. " Sei ferner
f : E =====> 2 ^ ( |R ^ N ) ( 4a )
eine Abbildung, die jedem J aus unserer Indexmenge eine offene Menge o_J = f ( J ) zuordnet. Dann folgt mit ===> Transfer, Nelsons wichtigstem Axiom, dass es auch ein F gibt mit der Eigenschaft ( 4a ) Hier nun greift ein fundamentales Lemma
Y0 = F ( X0 ) ist Standard ( 4b )
und alle O_J sind Standardmengen. Die Beweiskette muss allerdings noch durch eine mehr formal juristische Betrachtung geschlossen werden. Sei v die Vereinigungsmenge
(E) v | v = U F ( i ) ( 4c )
i
Transfer ist zulässig in 4c ; der Transferparameter ist v . Der einzige zusätzliche freie Parameter ( ZFP ) ist F , und F ist ja Standard. ( Index i braucht uns nicht kümern; es handelt sich um einen gebundenen Parameter. An der Aussage würde sich nichts ändrn, wenn du i durch j ersetzt; gebundene Parameter sind nicht die Namen von Individuen. ) Wir landen also bei
(E) V | ...... ( 4d )
Nachdem wir uns gründlich warm gelaufen haben, folgt nunmehr der eigentliche Beweis. Liegt x * in V , so liegt es in einem der O_J Da dieses aber offen ist, liegt auch x in O_J und damit in V .
Der Hund liegt aber woanders begraben. Wie viele offene Mengen gibt es? Über-überabzählbare Alef_2 ? Keine Ahnung. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist immer wieder offen; und da müssen wir nun wirklich eine Fallunterscheidung vornehmen. Das lässt sich nämlich nicht so direkt einsehen wie im endlichen Fall.
also ich neige ja dazu, als Indexmenge ===> Ordinalzahlen zu nehmen - warum zum Schmidtchen gehen? doch das ist Geschmacksache. Stein des Anstoßes ist jenes Teorem, das man gleich zu Anfang lernt:
" Jede unendliche Menge enthält ein Nonstandard Element. "
Zum ersten Mal seit Jahrtausenden wird hier das Rätsel gelöst, was eigentlich die Unendlichkeit auszeichnet; woher dieser ganze Ärger kommt.
Damit bricht unsere ganze Argumentationskette im Anschluss an ( 4d ) zusammen. Vielleicht liegt ja unser x * zufällig in einem Nonstandard F ( j ) - es gibt einfach nicht " genügend viele Standardmengen " Und damit ist unser Kriterium nicht mehr anwendbar.
ein einfaches Gegenbeispiel mag dies beleuchten; nimm etwa das offene Intervall
j := ( - € ; € ) € > 0 ( 5a )
Das Intervall j enthält zwar x * = 0 , aber eben nicht x = 2 € . Versuchen wir es anders; wer bisher noch nicht verstanden hat, wozu Transfer gut ist, mag jetzt motiviert werden:
(E) j | x * € F ( j ) ( 5b )
(E) J | x * € F ( J ) ( 5c )
Der Gegensatz zwischen ( 5a ) einerseits und ( 5bc ) andererseits ist eben, dass diese Mengenfamilie durch die Funktion F zusammen gehalten wird.
Aber darf man so schließen? Tansfer ist an zwei ( hinreichende, aber nicht notwendige ) Bedingungen geknüpft. Und die sind hier beide verletzt.
1) Klassische Formel
" Was bedeutet der Stern hinter dem x? "
2) Sämtliche ZFP müssen Standard sein - trifft auf x gerade nicht zu.
Aber wie gesagt - nur hinreichend, nicht notwendig. Mit einem Trick mogeln wir uns hier durch; Y := x * ist ja Standard. Für die dauer des Transfers vergessen wir vorüber gehend, dass wir mit Y eigentlich x * meinen:
(E) j | Y € F ( j ) ( 5c )
