Abbildungen, die Tupel beinhalten lösen

Question

Aufgabe:

(a) f₁:R² →R; (a, b) → a − b
(b) f₂ : R²→ R; (a, b) → a² + b² + 1

(c) f3:R² →R²; (a, b) → (2a + b, a −2 b)

(d) f4:R² →R³; (a, b) → (a², a + b ,b)

Problem/Ansatz:

Wir haben in der Uni nicht durchgemacht, wie man diese Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität prüft, also Abbildungen mit Tupel. Ich suche schon die ganze Zeit im Internet nach Erklärungen, aber ich finde keine und bin schon richtig am Verzweifeln

Answer 1

(a) Nicht injektiv, weil z.B. \(f(1,1)=0\) und \(f(0,0)=0\), aber \((1,1)\neq (0,0)\).

Surjektiv, da \(f(a,0)=a\) und nach Definitionsbereich \(a\in \mathbb{R}\).

(b) Nicht injektiv, da z.B. \(f(1,1)=f(-1,-1)=3\), aber \((1,1)\neq (-1,-1)\).

Nicht surjektiv, da für \(a,b\in \mathbb{R}\) folgt, dass \(a^2\geq 0, \ b^2\geq 0\), also \(a^2+b^2+1\geq 1\).

(c) Injektiv, weil für \((2a+b,a-2b) = (2a'+b', a'-2b')\) aus dem linearen Gleichungssystem \(2a+b=2a'+b'\) und \(a-2b=a'-2b'\) dann \(a=a'\) und \(b=b'\) folgt.
Surjektiv, denn für beliebige \(c,d\in \mathbb{R}\) und \(f(a,b)=(2a+b,a-2b) = (c,d)\) lassen sich \(a=\frac{2c+d}{5}\in \mathbb{R}\) und \(b=\frac{c-2d}{5}\in \mathbb{R}\) konstruieren.

(d) Injektiv, weil für \((a^2, a+b, b) = (a'^2, a'+b', b')\) nun \(b=b'\), damit auch \(a+b=a'+b \Rightarrow a=a'\) folgt.
Nicht surjektiv, da für \(a\in \mathbb{R}\) nun \(a^2\geq 0\), also z.B. \((-1,0,0)\) kein Urbild besitzt.

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Vielen vielen Dank :)

Answer 2

wie man diese Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität prüft

Injektivität: Zeige, dass unterschiedliche Tupel unterschiedliche Funktionswerte haben.

Surjektivität: Zeige, dass Jeder Wert der Zielmenge Bild eines Tupels ist.

(a) f1:R² →R; (a, b) → a − b

Injektivität: f(0,0) = 0 = f(1,1), also ist f nicht injektiv.

Surjektivität: f(a, 0) = a für jedes a ∈ ℝ, also ist f surjektiv.

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Danke für die Erklärung