Mengenlehre Funktionen Gleichheit

Question

ich sitze gerade an folgendem Beweis, komme aber nicht weiter.

Das soll gezeigt werden:

$$f(A \cap f^{-1}(B)) = f(A) \cap B$$ 

Dabei ist $f$ eine Abbildung und $A \subset$ der Definitionsmenge und $B \subset$ der Zielmenge.

Ich habe schon gezeigt, dass $f(A\cap f^{-1}(B)) \subset f(A) \cap B$ ist:

Wähle $y \in f(A \cap f^{-1}(B))$, so ist $y\in B$. Da es zu jedem $y \in f(A \cap f^{-1}(B))$ ein $x \in A$ gibt, gilt auch $y \in f(A)$. So gilt die Aussage.

Zu $f(A \cap f^{-1}(B)) \supset f(A) \cap B$ habe ich jedoch keinen wirklich guten Ansatz.

Folgende vielleicht halbwegs sinnvolle Rechnung habe ich bereits gemacht:

$$f(A \cap f^{-1}(B)) \supset f(f^{-1}(f(A)) \cap f^{-1}(B)) \supset f(A) \cap f(f^{-1}(B))$$

Aber irgendwie komme ich von da aus nicht weiter. Hat vielleicht jemand einen kleinen Tipp für mich?

Danke

Answer 1

Einerseits:$$f(A \cap f^{-1}(B)) \subset f(A) \cap f(f^{-1}(B)) \subset f(A) \cap B$$ Andererseits:

Wenn $x\in A$ und $f(x)\in B$, dann ist $x\in f^{-1}(B)$, also $x\in A\cap f^{-1}(B)$ und $f(x)\in f(A\cap f^{-1}(B))$.

Answer 2

Sei y ∈ f(A) ∩ B

Dann ist y ∈ B und es gibt ein x ∈ A mit f(x)=y

Also ist x ∈ f^(-1)(B)  und x∈ A

also x ∈ A ∩  f^(-1)(B)

und weil y = f(x) ist, ist also y ∈ f(  A ∩  f^(-1)(B) ).