0 Daumen
1,1k Aufrufe

Wenn man die rationalen Zahlen in einer Folge q1,q2,....,qn,.. anordnet, folgt, dass zu jeder reellen Zahl x eine Teilfolge qnk existiert mit lim k→∞ qnk = x.

Wie soll ich beim Lösen dieses Beispieles herangehen ?

Gefragt von

1 Antwort

0 Daumen

"Wenn man die rationalen Zahlen in einer Folge q1,q2,....,qn,.. anordnet, folgt, dass zu jeder reellen Zahl x eine Teilfolge qnk existiert mit lim k→∞ qnk = x."

Du kannst das schlecht 'lösen', weil es offenbar kein Beispiel sondern eine Folgerung aus etwas ist, das vorher steht.

So ohne Zusammenhang kann ich das höchstens versuchen zu interpretieren. Vielleicht steht ja was Ähnliches gerade vorher im Skript.

In jeder noch so kleinen Umgebung einer reellen Zahl liegen liegen unendlich viele rationale Zahlen. 

Da nun die rationalen Zahlen in einer Folge angeordnet sind, kommen bis zu einem beliebigen Zeitpunkt t0 nur endlich viele rationale Zahlen vor die in der Epsilonumgebung von x liegen. Alle weiteren folgen nach t0 . Das sind unendlich viele. Somit ist gesichert, dass auf jede rationale Zahl in der Epsilonumgebung von x wieder eine folgt, die noch näher bei x liegt. Das sind diese qnk die dann, wenn k gegen unendlich geht, gegen x konvergieren.

Man sagt dazu glaub ich, dass die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen 'dicht' liegen. Du solltest allerdings die genaue Definition dieses Begriffs noch nachlesen, falls du ihn verwenden willst.

Wie man die rationalen Zahlen genau anordnet ist Geschmacksache. Ihr habt das beim Beweis, dass Q abzählbar ist vermutlich in aufzählender Form (über die Diagonale) gemacht. z.B. 0/1, 1/1, -1/1, 2/1,-2/1, 1/2, -1/2, 3/1, - 3/1, …

Beantwortet von 144 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...