Question

Diskutiere folgende Funktion hinsichtlich Nullstelln, Extrempunkte, Wendepunkte, Monotonie, Krümmung: $$y=f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-4 x$$

Answer 1

Nullstellen: x₁=0 x_2/3=±2√3

Hochpunkt: (-2|16/3)

Tiefpunkt: (2|-16/3)

Wendepunkt: (0|0)

Monotonie: Zwischen Hoch- und Tiefpunkt streng monoton fallend; sonst streng monoton steigend.

Krümmung: links vom Wendepunkt rechtsgekrümmt; rechts vom Wendepunkt linksgekrümmt

Comments

zwischen H und T ,  links (rechts) vom WP

die x-Werte der jeweiligen Punkte gehören zu den Monotonie- bzw. Krümmungsintervallen dazu, z.B.:

Rechtskrümmung in [-2;0] , Linkskrümmung in [0;2]

Hier findest du einen  Online-Rechner, der Kurvendiskussionen mit Erläuterungen durchführt.

Answer 2

$$y=f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-4 x$$

Nullstellen:

$$P_1(0;0); P_2(-2* \sqrt{3};0) ; P_3( 2* \sqrt{3} ;0)$$$$y'=f'(x)=x^{2}-4=0$$$$x^{2}=4$$$$x_4=-2; x_5=2$$$$y''=f''(x)=2x$$$$f''(-2)=-4; f''(2)=4$$$$f(-2)=\frac{1}{3} (-2)^{3}+4*2$$$$f(-2)=5\frac{1}{3}$$$$HP : P_4(-2;5\frac{1}{3})$$$$f(2)=\frac{1}{3} (2)^{3}-4*2$$$$f(2)=-5\frac{1}{3}$$$$TP : P_5(-2;-5\frac{1}{3})$$$$WP: P_1(0;0)$$

monoton steigend für

$$-2> x>2$$

monoton fallend für

$$-2<x<2$$

rechtsgekrümmt für

$$x<0$$

linksgekrümmt für

$$x>0$$$$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)→∞$$$$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)→-∞$$